الرياضيات في بلاد الرافدين

قام البابليون باستعمال واسع لجداول عد قبل-حسابية لمساعدتهم في علوم الحساب. على سبيل المثال، وجد لوحان في تل السنكرة على الفرات في عام 1854، يرجع تاريخهما إلى 2000 ق.م، يوجد بهما قائمة بالأعداد المربعة متدرجة إلى الرقم 59 وتكعيب الأرقام تدريجيا إلى الرقم 32. وقد استعمل البابليون قوائمة الأعداد المربعة مع هذه الصيغ

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}$

وذلك لتسهيل الضرب. ولم يكن لدى البابليون خوارزميات لحساب القسمة المطولة. بدل ذلك قاموا بوضع طرق تتناسب مع علمهم على الحقيقة

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

وبجانب جدول الأعداد المقلوبة، والأعداد الوحيد التي تشكل عوامل أولية هي فقط 2 و3 أو 5 لديها عدد محدود من مقلوبات الأعداد في النظام الستيني المدون آنذاك، وبهذا تم إنشاء جدول الأعداد المقلوبة.

المعكوسات مثل 1/7 و1/11 و1/13 وغيرها، لا يوجد لديها تمثيلا محدودا في النظام الستيني. لحساب الرقم 1/13 أو أي عدد مقسوم على 13 كان البابليون يستخدمون التقريب

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\approx 7\times {\frac {1}{90}}=7\times {\frac {40}{3600}}.}$

طور البابليون صيغ جبرية لحل المعادلات الرياضيات، وقد كانت، أيضاً، مبنية على الجداول قبل-الحسابية. مثلها مثل مجال العلوم الحسابية.

لحل المعادلات التربيعية، استخدم البابليون الصيغة القياسية للمعادلات التربيعية. ودرسوا هذه الصيغة للمعادلات التربيعية

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

حيث كل من b وc لم تَكونا بالضرورة أعداداً صحيحة، لكن كانت c دائما موجبة. وقد علموا الحل لصيغة للمعادلات التربيعية هذه وهو كالآتي

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+c}}}$

وممن الممكن أنهم قد استخدموا جداول التربيع بشكل عكسي لإيجاد الجذور التربيعية. ودائما ما استخدم البابليون الجذر الموجب لأن استخدامه كان منطقيا في حل المسائل «الحقيقة» (حيث أن جذر المقدار السالب عدد مركب تخيلي وليس حقيقياً). هذا النوع من المسائل يتضمن أبعاد المستطيل مساحته ومقداره معطى عن طريق مقدار الطول الذي يتجاوز العرض.

جدول قيم n³ + n² استخدم لحل أنواع محددة من الدوال التكعيبية. مثلا، حل المعادلة

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

بضرب المقدار في a² وبقسمته على b³ يعطينا

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\right)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\right)^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}.}$

باستبدال y = ax/b يعطينا

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

وبعد هذه العملية يمكن للمسألة أن تحل بجرد إيجاد قيم n³ + n² على جدول القيم بحيث تكون القيم الموجودة على الجدول هي الأقرب للجانب الأيمن. وقد حقق البابليون ذلك بدون اللجوء إلى التدوين الجبري، وهذا يشير إلى الفهم العميق لمثل هذه العمليات. وعلى الرغم من ذلك، لم يكن لديهم أي حل للصيغة التكعيبية العامة.

شكّل البابليون ما يعرف اليوم باسم النمو الأسي، والنمو التقييدي، ومضاعفات الزمن. والأخير استعمل في الفوائد العائدة من الديون.

ألواح طينية يرجع تاريخها إلى حوالي 2000ق.م تضمنت المسألة «مقدار الفائدة معطىً وهو 1/60 لكل شهر، أحسب مضاعفات الزمن.» هذه الغلة هي مقدار الفائدة السنوية لـ12/60 = 20%، ومن هنا تضاعف مرة إلى نمو 100% ويجزأ النمو إلى 20% لكل سنة = 5 سنين.[3][4]

اللوح المعروف باسم بليمبتون 322 يوضح طريقة لحل ما يعرف اليوم باسم معادلة من الدرجة الثانية من النموذج،

${\displaystyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$,

بالخطوات (الموصوفة بالشروط الهندسية) التي تحسب سلسلة من القيم المتوسطة v₁ = c/2، v₂ = v₁² ، v₃ = 1 + v₂ ، و v₄ = v₃^1/2 ، من التي يمكن للمرء حسابها هكذا x = v₄ + v₁ و 1/x = v₄ - v₁.

ويذكر في بحث روبسون، الذي قامت بنشره الجمعية الرياضية الأمريكية عام (2001-2002)، بأن بليمبتون 322 يمكن أن تفسر بالقيم التالية، وهي قيم الأعداد العادية x و1/x' في ترتيب عددي:

v₃ في العمود الأول،

v₁ = (x - 1/x)/2 في العمود الثاني

v₄ = (x + 1/x)/2 في العمود الثالث.

في هذا التفسير، كانت x و1/x لتظهرا في الجزء المكسور في يسار العمود الأول للوح. كاقتراح لهذا الحل، يمكن أن تكون قيمة x في الصف 11 للوح هي x = 2.

وقد أشار روبسون بأن اللّوح بليمبتون 322 يكشف عن «صيغ-— أزواج مقلوبات الأعداد، إكمال المربع، التقسيم عن طريق العوامل الأولية للرقم العادي-— وقد كانت جميعها تقنيات سهلة كانت تدرس في مدارس الكُتّاب» في تلك الفترة الزمنية.[5]

من الممكن أن يكون الباليون قد علموا بالقواعد العامة لقياس المساحة والحجم. لقد قاموا بحساب محيط الدائرة كثلاثة أضعاف القطر والحجم كواحد على إثني عشر من مربع المحيط، وهو ما قد يكون صحيحاً في π إذا قدرت بالعدد 3. وقد حسبوا حجم الأسطوانة كناتج من الحجم في الارتفاع، وعلى كل، فإن حجم كل من المخروط الناقص والهرم المربع الناقص لم تؤخذ بشكل صحيح كناتج الارتفاع ونصف مجمع القواعد. وقد عرف البابليون مبرهنة فيثاغورس. أيضا، هناك اكتشاف يثبت أن البابليون عن لوح استُعمل فيه الرقم π على هيئة 3 أو على هيئة 1/8. ويعرف البابليون باكتشافهم الميل البابلي، وهي وحدة قياس مسافة تعادل سبعة أميال اليوم. وحدات قياس المسافات استعملت في قياس حركة الشمس، وذلك بتحويلها الميل إلى ميل زمني، وبالتالي يمثل بها الوقت.[6]

علم البابليون القدماء نظريات النسب للمثلثات متساوية الساقين لقرون عدة، لكن افتقروا لمفهوم قياس الزوايا وهكذا، قاموا بدراسة أضلاع المثلث بدلا عن ذلك.[7]

أبقى علماء الفلك البابليون تسجيلات مفصلة عن ظهور واختفاء النجوم، والكسوف والخسوف الشمسي والقمري، وكل هذا يتطلب إلماما بالمسافات الزاوية التي تقاس على الكرة السماوية.[8]

وقد استعمل البابليون نوعا من تحويل فورييه لحساب التقويم الفلكي (جدول الأوضاع الفلكية)، والذي تم اكتشافه عام 1950م على يد أوتو نوغبور.[9][10][11][12]