مجموعة لورنتز

مجموعة لورنتز هي مجموعة فرعية من مجموعة بوانكاريه، وهي مجموعة من جميع أشكال القياس في زمكان مينكوفسكي. إن تحولات لورنتز تمتاز بأنها دقيقة، ومتساوية القياس بحيث تترك الأصل ثابتًا. وبالتالي فإن مجموعة لورنتز هي مجموعة فرعية الخواص من مجموعة القياس المتماثل لزمكان مينكوفسكي. لهذا السبب، تسمى مجموعة لورنتز أحيانًا باسم مجموعة لورنتز المتجانسة، بينما تسمى مجموعة بوينكار في بعض الأحيان باسم مجموعة لورنتز غير المتجانسة . تحولات لورنتز هي أمثلة للتحولات الخطية. التماثلات العامة للفضاء مينكوفسكي هي تحولات تآلفية. رياضيا، يمكن وصف مجموعة لورنتز على أنها المجموعة المتعامدة (O(1,3، مجموعة مصفوفة لاي التي تحافظ على الشكل التربيعي: ${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

المكونات المتصلة

مخروط الضوء في الفضاء 2D بالإضافة إلى البعد الزمني.

نظرًا لأنها تعتبر ضمن مجموعة لاي، فإن مجموعة لورنتز (O(1,3 هي مجموعة وتعترف بوصفًا طوبولوجيًا كمشعب سلس. باعتبارها متعددة، لديها أربعة مكونات متصلة. حدسي، وهذا يعني أنه يتكون من أربع قطع منفصلة طبولوجيا.

يمكن تصنيف المكونات الأربعة المتصلة بواسطة خواص تحول:

• يتم عكس بعض العناصر في ظل تحولات لورينتز المقلوبة للوقت، على سبيل المثال، سيتم عكس ناقل متجه نحو المستقبل يشير إلى متجه يشير الماضي
• بعض العناصر لها اتجاه عكسي من خلال تحويلات غير صحيحة لورنتز ، على سبيل المثال، بعض فيربيين (tetrads)

تسمى تحولات لورنتز التي تحافظ على اتجاه الزمن orthochronous. غالبًا ما يُشار إلى المجموعة الفرعية للتحولات المتعامدة (O⁺(1,3. وتسمى تلك التي تحافظ على الاتجاه بالشكل المناسب، وكتحولات خطية يكون لها محددات +1. (تحولات لورنتز غير الصحيحة لها محدد −1.) يُشار إلى المجموعة الفرعية من تحولات لورنتز الصحيحة بـ (SO(1,3.

يُطلق على المجموعة الفرعية لجميع تحولات لورنتز التي تحافظ على الاتجاه واتجاه الوقت، مجموعة لورنتز الصحيحة أو المتجانسة أو مجموعة لورنتز المقيدة، ويتم الإشارة إليها بواسطة (SO⁺(1,3. (لاحظ أن بعض المؤلفين يشيرون إلى (SO (1,3 أو حتى (O(1,3 عندما يعنيون فعليًا (SO⁺(1, 3.

مجموعة لورنتز المقيدة هي مكون الهوية لمجموعة لورنتز، مما يعني أنها تتكون من جميع تحويلات لورنتز التي يمكن توصيلها بالهوية من خلال منحنى مستمر في المجموعة. مجموعة لورنتز المقيدة هي مجموعة فرعية عادية متصلة من مجموعة لورنتز كاملة بنفس البعد، وفي هذه الحالة ذات البعد السادس.

يتم إنشاء مجموعة لورنتز المقيدة من خلال الدورات المكانية العادية وتعزيزات لورنتز (والتي يمكن اعتبارها بمثابة دورات زائدية في طائرة تتضمن اتجاهًا يشبه الزمن). نظرًا لأن كل تحويل لورينتز صحيح ومتناسق يمكن كتابته كمنتج لدوران (محدد بواسطة 3 معلمات حقيقية) ودعامة (محددة أيضًا بـ 3 معلمات حقيقية)، يتطلب الأمر 6 معلمات حقيقية لتحديد تحويل لورنتز متعامد مناسب. هذه طريقة واحدة لفهم لماذا مجموعة لورنتز المقيدة ذات أبعاد ستة.

المجموعات اليمنى واليسرى في الغطاء المزدوج :

(SU(2) → SO(3 هي انكماش تشويهي من المجموعات اليمنى واليسرى، على التوالي، في تغطية مزدوجة: (SL(2،C) → SO⁺(1,3

لكن الفضاء المتجانس (SO⁺(1,3)/SO(3 هو تشابه الشكل البلوري hyperbolic 3-space H³، لذلك عرضنا مجموعة لورنتزالمقيدة كحزمة ليفية رئيسية مع ألياف (SO (3 وقاعدة H³.

يمكن إعطاء مجموعة من المكونات الأربعة المتصلة بنية مجموعة مثل المجموعة الحالية (O(1,3)/SO⁺(1,3، وهو شكل متماثل لـ كلاين أربع مجموعات. يمكن كتابة كل عنصر في (O(1,3 كجداء نصف مباشر لتحول مناسب متعامد وعنصر من عناصر المجموعة المنفصلة:

{1, P, T, PT}

حيث P و T هما انعكاس الفضاء وانعكاس الوقت:

(P = diag(1, −1, −1, −1

(T = diag(−1, 1, 1, 1

وبالتالي، يمكن تحديد تحول لورنتز التعسفي كتحول لورينتز مناسب متعامد إلى جانب اثنين آخرين من المعلومات، والتي تختار أحد المكونات الأربعة المتصلة. هذا النمط هو نموذج من مجموعات لاي محدودة الأبعاد.

• Artin, Emil (1957)، Geometric Algebra، New York: Wiley، ISBN 978-0-471-60839-4. See Chapter III for the orthogonal groups O(p,q).
• Carmeli, Moshe (1977)، Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field، McGraw-Hill, New York، ISBN 978-0-07-009986-9.Carmeli, Moshe (1977)، Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field، McGraw-Hill, New York، ISBN 978-0-07-009986-9. A canonical reference; see chapters 1–6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore (2004)، The Geometry of Physics (2nd Ed.)، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-53927-2.Frankel, Theodore (2004)، The Geometry of Physics (2nd Ed.)، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-53927-2. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• قالب:Fulton-Harrisقالب:Fulton-Harris See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Gelfand, I.M.؛ Minlos, R.A.؛ Shapiro, Z.Ya. (1963)، Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications، New York: Pergamon Press،
• Hall, Brian C. (2015)، Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، Springer، ج. 222، ISBN 978-3319134666Hall, Brian C. (2015)، Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction، Graduate Texts in Mathematics (ط. 2nd)، Springer، ج. 222، ISBN 978-3319134666.
• Hall, G. S. (2004)، Symmetries and Curvature Structure in General Relativity، Singapore: World Scientific، ISBN 978-981-02-1051-9.Hall, G. S. (2004)، Symmetries and Curvature Structure in General Relativity، Singapore: World Scientific، ISBN 978-981-02-1051-9. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen (2002)، Algebraic topology، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-79540-1.Hatcher, Allen (2002)، Algebraic topology، Cambridge: Cambridge University Press، ISBN 978-0-521-79540-1. See also the "online version"، مؤرشف من الأصل في 19 مايو 2018، اطلع عليه بتاريخ 3 يوليو 2005."online version"، مؤرشف من الأصل في 19 مايو 2018، اطلع عليه بتاريخ 3 يوليو 2005. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Misner, Charles؛ Thorne, Kip S.؛ Wheeler, John (1973)، Gravitation، W. H. Freeman and Company، ISBN 978-0-7167-0344-0.Misner, Charles؛ Thorne, Kip S.؛ Wheeler, John (1973)، Gravitation، W. H. Freeman and Company، ISBN 978-0-7167-0344-0. §41.3
• Naber, Gregory (1992)، The Geometry of Minkowski Spacetime، New York: Springer-Verlag، ISBN 978-0486432359.Naber, Gregory (1992)، The Geometry of Minkowski Spacetime، New York: Springer-Verlag، ISBN 978-0486432359. (Dover reprint edition.) An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristan (1997)، Visual Complex Analysis، Oxford: Oxford University Press، ISBN 978-0-19-853446-4.Needham, Tristan (1997)، Visual Complex Analysis، Oxford: Oxford University Press، ISBN 978-0-19-853446-4. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Weinberg, S. (2002)، The Quantum Theory of Fields، مطبعة جامعة كامبريدج، ج. 1، ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, E. P. (1939)، "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group"، حوليات الرياضيات، 40 (1): 149–204، Bibcode:1939AnMat..40..149W، doi:10.2307/1968551، JSTOR 1968551، MR 1503456.

• بوابة الفيزياء
• بوابة رياضيات