وحيد الحد

أول حقيقة بديهية حول أحاديات الحدود هي أن كل متعددة للحدود هي تركيبة خطية لعدد معين منهن. وبذلك، فإنهن يمثلن قاعدة للفضاء المتجهي لمتعددات الحدود.

عدد أحاديات الحدود من الدرجة d في n من المتغيرات هو عدد التوافيق مع التكرار (لا يهم الترتيب، ويمكن تكرارالمتغيرات)، والتي تعطى بمعامل المجموعة المتعددة ${\displaystyle \textstyle {\left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)}.}$ بدلالة معاملات ثنائية حدودومن ثم مضروب تصاعدي, يعطى هذا بالعلاقة

${\displaystyle \left(\!\!{n \choose d}\!\!\right)={\binom {n+d-1}{d}}={\binom {d+(n-1)}{n-1}}={\frac {1}{(n-1)!}}(d+1)^{(n-1)}.}$

الصورة الأخيرة مفيدة بالذات كوننا نثبت عادة عدد المتغيرات ونغير في درجة بالمقابل لتثبيت بعد الفضاء. من هذا التعبير يجد المرء أنه لأجل n ثابتة يكون عدد أحاديات الحدودمن الدرجة d هو كثيرة حدود في d من الدرجة ${\displaystyle n-1}$ ومعامل أسبق ${\displaystyle 1/(n-1)!}$

فمثلاً، عدد أحاديات الحدودفي ثلاثة متغيرات (${\displaystyle n=3}$) هو ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)^{(2)}=\textstyle {\frac {1}{2}}(d+1)(d+2),}$ يكون الأعداد المثلثية، التي حدودها الأولى هي ${\displaystyle 1,3,6,10.}$

يعد تمثيل أحاديات الحدود مطلوبا في مجالات مثل المعادلات التفاضلية الجزئية. إذا كانت المتغيرات المستعملة تشكل عائلة مفهرسة مثل ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{3}}$,...، فإن من المفيد استعمال علامة متعددة الفهرسة: إذا كتبنا

${\displaystyle \alpha =(a,b,c)}$

يمكن تعريف

${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{a}\,x_{2}^{b}\,x_{3}^{c}}$

وتوفير الكثير من الوقت والكتابة.

• ذو اسمين
• ذو ثلاثة أسماء

• متعددة حدود متجانسة
• دالة متجانسة

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر