جهد كمي

ينتج عن الجزء التخيلي من معادلة شرودنجر في شكل قطبي:

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right],}$

إن اعتبرنا أن ${\displaystyle \rho =R^{2}}$، فإن المعادلة يمكن أن تُفسر على أنها معادلة الاستمرارية ${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$ لكثافة الاحتمال ${\displaystyle \rho }$ ومجال السرعة ${\displaystyle v={\frac {1}{m}}\nabla S}$.

ينتج عن الجزء الحقيقي من معادلة شرودنجر في شكل قطبي معادلة هاميلتون جاكوبي مُعدلة:

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-\left[{\frac {\left|\nabla S\right|^{2}}{2m}}+V+Q\right],}$

يُشار إليها أيضًا باسم معادلة هاميلتون جاكوبي الكمية.[5] تختلف عن معادلة هاملتون جاكوبي الكلاسيكية فقط في المصطلح Q حيث:

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}.}$

المصطلح Q، الذي يُسمى الجهد الكمي، يعتمد على انحناء سعة الدالة الموجية.

في الحد${\displaystyle \hbar \to 0}$، دالة S هي حل لمعادلة هاميلتون جاكوبي (الكلاسيكية)، وعليه فإن الدالة ${\displaystyle S}$ تُسمى بدالة هاميلتون جاكوبي،[1] أو بفعل هاميلتون جاكوبي الذي امتد إلى فيزياء الكم.