معادلة شرودنغر

شكلت معدلة شرودنجر ونتائجها فتحا جديدا في فهم الفيزياء. فقد كانت معادلته الأولى من نوعها وأوصلت نتائجها العلماء إلى تبعات لم تتوقع من قبل وغير عادية في ذلك الوقت.

النفق الكمومي

في الفيزياء الكلاسيكية عندما تتدحرج كرة عاليا على جبل تقل سرعتها رويدا رويدا حتى تتوقف ثم تعود متدحرجة ثانيا إلى سفح الجبل، ذلك لأنها لم تمتلك طاقة كافية لكي تصعد فوق الجبل لتهبط من الناحية الأخرى. أما معادلة شرودنجر فهي تتوقع أنه يوجد احتمال ولو ضعيف أن تنتقل الكرة إلى الناحية الأخرى من الجبل حتى ولو كانت طاقتها الحركية لاتكفي لأن تصل إلى قمة الجبل. وهذا ما يسمي بالنفاذية خلال نفق كمومي، وهذه الظاهرة تنبع من مبدأ عدم التأكد: فمع أن الكرة تبدو وأنها موجودة على ناحية من الجبل إلا أن مكانها فيه ليس أكيدا، بحيث أنه يوجد احتمال لتواجدها على الناحية الأخرى من الجبل.

التخلل النفقي : إلى اليسار، داخل النواة، وإلى اليمين خارج النواة. طاقة الجسيم المتسرب لا تتغير، والذي يتغير هو مطال الموجة الكمومية له وهو ينقص في الخارج (وبالتالي ينقص احتمال سريان التسرب).

ضبابية موقع الجسيم حيث لا تحدده تماما ميكانيكا الكم.

التغير الزمني لحزمة موجية كما تصفه حل معادلة شرودنجر في حالة نظام جهدي ذو قمة واحدة مبينا شرائح لمحوري المكان ${\displaystyle x}$ والزمن ${\displaystyle t}$ (ويبن المحور الثالث المطال ${\displaystyle \psi }$ وهو يعبر عن احتمال تواجد الجسيم في المكان المذكور). يبدو الجسيم كدوائر زرقاء وكثافتها اللونية تتناسب مع احتمال وجود الجسيم في الموقع المبين. ويمثل الخط النقطي الجهد الجبلي. واحتمال النفاذية أكبر من الانعكاس لأن الطاقة الكلية ${\displaystyle E}$ تزيد عن طاقة الوضع.

صاغ شرودنجر عام 1926 معادلته واضعا فيها بعض المبادئ الفيزيائية التي تتكئ عليها بعض الظواهر الكمومية المعروفة في ذلك الوقت. وتعتمد رياضيات معادلة شرودنجر على مبدأ التواصل لدالة هاميلتون التي تعطي الطاقة الكلية:

${\displaystyle E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)}$

وبالتعويض عن الطاقة وزخم الحركة والمكان في الميكانيكا الكلاسيكية باستخدام معاملات ميكانيكية كمومية:

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\rightarrow &{\hat {E}}&=&\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\\\mathbf {p} &\rightarrow &\mathbf {\hat {p}} &=&-\mathrm {i} \hbar \nabla \\\mathbf {r} &\rightarrow &\mathbf {\hat {r}} &=&\mathbf {r} \end{matrix}}}$

ثم تطبيق الدالة الموجية ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,t)}$ ergibt التي كانت معروفة في علم البصريات:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\psi }$.

بهذا تحولت دالة هاميلتون إلى معامل هاميلتون Hamilton-Operator.

ومن الوجهة التاريخية طبق شرودنجر وصف دي برولي للجسيم الحر، وقام بتوليف متناظرات بين الفيزياء والموجات الكهرومغناطيسية في هيئة ازدواجية موجة-جسيم وتطبيق الصفات الموجية للجسيمات:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=A\;\exp \left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\;(Et-\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} )\right)}$,

حيث ${\displaystyle A}$ ثابت.

تلك المعادلة الموجية هي عبارة عن أحد حلول معادلة شرودنجر وتحتوي على ${\displaystyle V(\mathbf {r} ,t)=0}$.

ويبقى مع ذلك التفسير الفيزيائي للدالة الموجية مفتوحا غير واضحا. وفي التفسيرات الإحصائية الجارية على ميكانيكا الكم تعطي مربع القيمة ${\displaystyle |\psi |^{2}}$ احتمال وجود الجسيم في موقع معين (وهذا هو تفسير ماكس بورن الألماني).

تسمح لنا معادلة شرودنجر لحساب الدوال الموجية لنظام وكيف تتغير مع الزمن. ولكن معادلة شرودنجر لا تقول «ما هي» الدالة الموجية بالضبط. وتعتني تفسيرات ميكانيكا الكم بأسئلة مثل العلاقة بين الدالة الموجية والحقيقة الواقعية ونتائج قياسات التجارب.

وبينما تحسب الميكانيكا التقليدية مسار ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ جسيم بدقة يظهر مكان الجسيم في ميكانيكا الكم كقيمة محتملة لدوال توزيع ${\displaystyle \psi }$، تعطيها معادلة شرودنجر. ويوصف الجسيم كحزمة موجية فإذا كان اتساع الحزمة الموجية قصيرا جدا فيمكن تحويل معادلة شرودنجر إلى معادلة نيوتن للحركة. . تصاغ الدوال الموجية في معادلة شرودنجر في صورة معاملات طبقا لتصور شرودنجر. وفي تصور هايزنبرج الذي حل مسألة طيف الهيدروجين بميكانيكا الكم فقد صاغ معادلات الحركة مباشرة بدلا من المعاملات. وتسمى طريقة هايزنبرج التي استخدم فيها حساب المصفوفات وتسمى «معادلات هايزنبرج للحركة». وكلا الطريقتين: معادلة شرودنجر أو معادلات الحركة لهايزنبرج متماثلتان من وجهة النتائج. وقد توصل هايزنبرج لطريقته عام 1923 أي قبل توصل شرودنجر لمعادلته التي صاغها عام 1926.

رفض أينشتاين ميكانيكا الكم باعتبارها لا تصف مكان جسيم بدقة مثلما في الميكانيكا الكلاسيكية وتعطي فقط احتمال وجود الجسيم في مكان معين ولكن التوافق بين طريقة هايزنبرج الكمومية ومعادلة شرودنجر والنجاح التي حازته ميكانيكا الكم في تفسير ظواهر طبيعية كثيرة تعجز الميكانيكا الكلاسيكية عن حسابها وتفسيرها ثبتت من مركز ميكانيكا الكم كطريقة يمكن الاعتماد عليها في تفسير الظواهر الطبيعية على المستوى الصغري في عالم الذرات والجزيئات والجسيمات الأولية.

بعد اكتشاف ماكس بلانك لكمومية الضوء (انظر اشعاع الجسم الأسود) وتفسير أينشتاين بأن تسمية «الكم» quanta الذي استخدمها بلانك هو عبارة عن فوتون أو «جسيم ضوئي»، واقترح اعتبار أن تكون طاقة الفوتون متناسبة مع تردده، فكانت تلك الفكرة من أول الافتراضات الخاصة بازدواجية الموجة والجسيم.

ونظرا لكون الطاقة وزخم الحركة ينتسبان إلى التردد والعدد الموجي في النظرية النسبية الخاصة، فينتج عن ذلك أن زخم الحركة ${\displaystyle p}$ للفوتون يكون متناسبا طرديا مع عدده الموجي ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k}$

وافترض لويس دي برولي أن هذا ينطبق على جميع الجسيمات، بما فيها الإلكترون. وبين انه بافتراض أن الموجة المادية تتقدم مزاملة لجسيمها، فإن الإلكترون يكوّن موجة راكدة، بمعنى أنه يحتوي على ترددات زاوية منفصلة فقط حول النواة الذرية وهي التي تكون مسموحة له باتخاذها.[2]

تلك المدارات الكمومية في الذرة تنتمي إلى مستويات طاقة منفصلة (أي لها قيم خاصة ذاتية)، واستطاع دي برولي تفسير نموذج بور للبنية الذرية وما تحويه من مستويات للطاقة. وكان نموذج بور معتمدا على التصور الكمومي للزخم الزاوي (أي تكون له قيم خاصة ذاتية):

${\displaystyle L=n{h \over 2\pi }=n\hbar .}$

وطبقا ل «دي برولي» يوصف الإلكترون بموجة ذات عدد صحيح من طول الموجة، وأنه في الذرة لا بد وأن يناسب العدد الموجي محيط مدار الإلكترون:

${\displaystyle n\lambda =2\pi r.\,}$

ولكن هذا الافتراض يحصر موجة الإلكترون في بُعد واحد ويدور في مدار دائري.

وابتداء من تلك الافتراضات علّق الفيزيائي بيتر ديباي بأنه إذا كان الجسيمات تتصرف بخصائص الموجات فلا بد لها أن تفي بنوع من أنواع دالة موجية. ومن ذلك التعليق الذي قدمه «ديباي» حاول شرودنجر التوصل إلى معادلة موجية في ثلاثة أبعاد تنطبق على الإلكترون. واستعان بما قام به هاميلتون من بيان التناظر بين ميكانيكا الأجسام وخواص الضوء والذي يتمثل في المشاهدة أن الحد الصفري لطول الموجة (أي عندما يصل طول الموجة إلى 0) يعادل حالة نظام في الميكانيكا الكلاسيكية.[3]. وتوصل شرودنجر إلى المعادلة:[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t).}$

كثافة احتمال وجود الإلكترون في المدارات الأولى لذرة الهيدروجين مبينة كمقاطع مستوية ؟ أحجام المدارات ممثلة هنا بمقاييس رسم مختلفة.

تستخدم معادلة شرودنجر ذات الثلاثة أبعاد في التطبيق على ذرة الهيدروجين:[5][6]

${\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi }$

حيث:

${\displaystyle e}$ شحنة الإلكترون،

${\displaystyle r}$ بُعد الإلكترون عن النواة (|${\displaystyle \mathbf {r} }$| =${\displaystyle r}$),

الجزء الممثل للجهد هو الجهد الكهربائي، وفيه

${\displaystyle \epsilon _{0}}$ السماحية الكهربائية في الفراغ،

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}}$

والأخيرة هي الكتلة المخفضة المكونة من نواة الهيدروجين (وهي بروتون واحد) كتلتها ${\displaystyle m_{p}}$ وكتلة الإلكترون ${\displaystyle m_{e}}$. ومعنى الإشارة السالبة، أنه يوجد تجاذب بين شحنة النواة الموجبة وشحنة الإلكترون السالبة. ونأخذ الكتلة المخفضة في الاعتبار حيث يتحرك كل من النواة والإلكترون جول مركز الثقل، فهما يكونان نظاما مكون من جسمين. وحركة الإلكترون هي التي تهمنا حيث كتاته هي الأصغر.

وتشكل الدالة الموجية للهيدروجين هي دالة لموقع الإلكترون ويمكن فصلها إلى ثلاثة دوال في الاتجاهات الثلاث.[7] ويتم ذلك للسهولة بتطبيق النظام الإحداثي الكروي:

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$

حيث:

${\displaystyle R}$ دوال شعاعية،

${\displaystyle \scriptstyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\,}$ توافقية كرية من الدرجة ${\displaystyle \ell }$ والنوع ${\displaystyle m}$.

وتلك هي الذرة الوحيدة التي حلت لها معادلة شرودنجر بدقة. أما بالنسبة إلى الذرات الأخرى المحتوية على أكثر من إلكترون واحد فهي تتطلب طرق تقريبية نابعة من معادلة شرودنجر. مجموعة الحلول هي:[8]

${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

حيث:

• ${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}}$ نصف قطر بوهر،
• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )}$ كثيرة حدود لاجير العامة من الدرجة ${\displaystyle n-\ell -1}$.
• ${\displaystyle n,\ell ,m}$ عدد كم رئيسي، عدد كم مداري، وعدد كم مغناطيسي، وهم يتخذون القيم:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&=1,2,3\cdots \\\ell &=0,1,2\cdots n-1\\m&=-\ell \cdots \ell \end{aligned}}}$

ينطبق هذا الحل تماماً مع قياسات طيف ذرة الهيدروجين، وكان ذلك نجاحاً عظيماً لمعادلة شرودنجر والتي أيدت طريقة ميكانيكا المصفوفات الكمية التي اتبعها هايزنبرج قبله بثلاثة سنوات عام 1923، بذلك أعتلت ميكانيكا الكم مكانتها كواحدة من أعظم النظريات الفيزيائية.

ومن الجدير بالذكر أن خلال السنوات التالية اكتشف بأن الإلكترون يدور حول محوره أي أن له عزم مغزلي، واكتشفت تلك الظاهرة من انشقاق خطوط الطيف للعناصر، فكان ذلك داعياً لإدخال عدد كم مغزلي وأكتملت الأعداد الكمية الخاصة بذرة الهيدروجين وكذلك لكافة الذرات المعروفة، وأصبحت الأعداد الكمومية كالآتي:

1. عدد كم رئيسي ${\displaystyle n}$
2. عدد كم مداري ${\displaystyle \ell }$
3. عدد كم مغناطيسي ${\displaystyle m_{\ell }}$
4. عدد كم مغزلي ${\displaystyle m_{s}}$

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم