لكي نحصل عل الدوال الموجية وومستويات الطاقة لجسيم في الحلقة نستخدم معادلة شرودنغر في الحالة المستقرة (التي لا تعتمد على الزمن) في الجهد الموجود. ويمثل الجهد بالعلاقة:

${\displaystyle V(\phi )={\begin{cases}V_{0},&{\text{when }}r=\rho \\\infty ,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ويمكن كتابة معامل هاميلتون في نظام الإحداثيات الكروية في مسألتنا كالآتي:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\phi ^{2}}}+V_{0}}$

فتنتج معادلة شرودنجر التي نريد حلها:

${\displaystyle \psi ''(\phi )=-{\frac {2m\rho ^{2}}{\hbar ^{2}}}(E-V_{0})\psi (\phi ).}$

وهي معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية، وفيها طاقة E الجسيم، وحل المعادلة يعطينا الدالة الموجية للجسيم:

${\displaystyle \psi _{M}(\phi )=\alpha e^{iM\phi }.\!\,}$

وبالتعويض عنها في معادلة شرودنجر نحصل على:

${\displaystyle M={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\rho .\!\,}$

ولكي نصل إلى حل واضح المعنى لا بد من اختيار شرط هام، وهو أنه بعد إتمام دورة كاملة في الحلقة لابد وأن تتخذ الدالة الموجية قيمتها الابتدائية ثانيا:

${\displaystyle \psi (\phi )=\psi (\phi +2\pi ),\!\,}$

وهذا يؤدي إلى الشرط التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha e^{iM\phi }&=\alpha e^{iM(\phi +2\pi )}\\e^{iM\phi }&=e^{iM\phi }e^{2\pi iM}\\e^{2\pi iM}&=1.\end{aligned}}\!\,}$

وهذا الشرط يتحقق عندما تكون ${\displaystyle M}$ عددا صحيحا. ونحصل على الطاقات التي يمكن للجسيم امتلاكها في الحلقة عن طريق إعادة تشكيل المعادلة:

${\displaystyle E={\frac {M^{2}\hbar ^{2}}{2m\rho ^{2}}}+V_{0},\quad M\in \mathbb {Z} .\!\,}$

والآن نقوم بتوحيد الدالة الموجية، عن طريق إجراء تكامل على مربع مقدار الدالة الموجية بين ${\displaystyle 0}$ و ${\displaystyle 2\pi }$ (التوحيد معناه أن الدالة الموجية موجودة في الحلقة بنسبة 100%).

ويمكن كتابة الدالة الموجية ب صيغة أويلر التي تحول الدالة الأسية المركبة إلى دالة مثلثية بالطريقة التالية:

${\displaystyle \alpha e^{iM\phi }=\alpha (i\sin {(M\phi )}+\cos {(M\phi )})\!\,}$

وبما أن مقدار العدد المركب ${\displaystyle z}$ معرف بالعلاقة ${\displaystyle |z|={\sqrt {{\text{Im}}(z)^{2}+{\text{Re}}(z)^{2}}}}$

فنحصل على:

${\displaystyle \alpha ^{2}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {\sin ^{2}{(M\phi )}+\cos ^{2}{(M\phi )}} _{=1}\mathrm {d} \phi =1,}$

بذلك نحصل على قيمة ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ .

بذلك نكون قد توصلنا إلى الدالة الموجية لجسيم في الحلقة:

${\displaystyle \psi _{M}(\phi )={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{iM\phi }\quad M\in \mathbb {Z} ,&{\text{when }}r=\rho \\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

حيث ${\displaystyle \rho \!\,}$ هو نصف قطر الحلقة الذي يستقر فيه الجسيم.

كما حصلنا أعلاه على الطاقات E التي يمكن للجسيم امتلاكها وهي تعتمد على ${\displaystyle M^{2}}$ حيث M لا تأخذ سوى أعدادا صحيحة، وهذ هو معنى كمومية الطاقة، فالطاقة التي يمكن للجسيم امتلاكها تكون منفصلة descret.

للحصول على القيم ${\displaystyle A}$ للزخم الزاوي نستخدم عملية التوحيد وهي أحد شروط حل الدالة الموجية لجسيم. والتوحيد معناه أن الجسيم موجود فعلا في الحلقة.

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\psi |^{2}d\varphi =1}$left

${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi =(Ae^{in\varphi })^{*}Ae^{in\varphi }=A^{*}e^{-in\varphi }Ae^{in\varphi }=|A|^{2}}$₃left

للحصول على قيمة الدالة الموجية نضرب الدالة الموجية في مرافقها ${\displaystyle \psi ^{*}}$ ، ونأخذ الجذر التربيعي منها.

نحصل على ثابت التوحيد ${\displaystyle A}$ بإجراء تكامل المعادلة:

${\displaystyle |A|^{2}\int _{0}^{2\pi }d\varphi =1\longrightarrow A={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\beta }}$left

بذلك نحصل على الدالة الموجية الموحدة:

${\displaystyle \psi (\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i(n\varphi +\beta )}}$left

وتتحقق المعادلة عندما يكون ثابت التوحيد عددا حقيقيا (أي عندما يكون طور الموجة مساويا للصفر، ${\displaystyle \beta =0}$).

وبالتعويض عنها في معادلة مربع الدالة الموجية أعلاه، نحصل على الكثافة الاحتمالية:

${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi =|A|^{2}={\frac {1}{2\pi }}}$left

وهي نتيجة تتفق مع الميكانيكا الكلاسيكية.

• معادلة شرودنجر
• جهد يوكاوا
• ميكانيكا الكم
• هزاز توافقي
• هزاز توافقي (ميكانيكا الكم)
• جسيم في صندوق

• بوابة الفيزياء