جسيم في صندوق

طاقة جسيم في صندوق تتخذ قيما ${\displaystyle E}$ محددة منفصلة (كمومية) وتعتمد على العدد الموجي ${\displaystyle k}$. الخط "المستمر" (رصاصي اللون) يصف حركة جسيم حر وليس محبوسا في صندوق.

تعادل معادلة شرودنجر الساكنة (تهمل الزمن) في الصندوق معادلة جسيم حر، وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=E\psi (x)\ ,\quad (0\leq x\leq L)}$

وباختيار الدالة الموجية ${\displaystyle \psi (x)}$ داخل الصندوق، نحصل على:

${\displaystyle \,\psi (x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)}$

ويمكن كتابة هذه المعادلة بمساعدة الدوال الأسية المركبة :

(${\displaystyle \psi (x=A\exp(\mathrm {i} kx)+B\exp(-\mathrm {i} kx)}$.

وبالتعويض بهذا في معادلة شرودنجر واجراء التفاضل بالنسبة للمكان، يكون :

${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=-k^{2}\psi (x)}$.

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(-k^{2})\psi (x)=E\psi (x)}$

بذلك نحصل على طاقة الجسيم ${\displaystyle E}$ واعتمادها على العدد الموجي ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle E={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}}$

العدد الموجي ${\displaystyle k}$ هو عدد الأطوال الموجية في وحدة طول.

خارج الصندوق يجب أن تكون الدالة الموجية للجسيم مساوية للصفر حيث أن جهد الصندوق كبير لانهائي، أي أن:

${\displaystyle \,\psi (x)=0\ ,\quad (x<0,\ x>L)}$

ونظرا لوجوب أن تكون الدالة الموجية مستمرة في كل مكان، فلا بد من اختيار شروط للدالة الموجية داخل الصندوق، وهو أن تكون مساوية للصفر عند الجدارين ( ${\displaystyle \,\psi (x)}$ =0) :

${\displaystyle \psi (x=0)=0\quad }$ و ${\displaystyle \quad \psi (x=L)=0}$.

تنتج من الشرط الأول الدالة الموجية داخل الصندوق :

${\displaystyle {\begin{matrix}\psi (x=0)&=&A\sin(k\cdot 0)+B\cos(k\cdot 0)\\&=&A\cdot 0+B\cdot 1\\&{\overset {!}{=}}&0\end{matrix}}}$.

ولكي تكون المعادلة قابلة للحل فلا بد من وضع ${\displaystyle B=0}$، وبذلك نبسط الدالة الموجية إلى الصيغة:

${\displaystyle \,\psi (x)=A\sin(kx)}$.

بواسطة الشرط الثاني نحصل على الدالة الموجية داخل الصندوق :

${\displaystyle \,\psi (x=L)=A\sin(kL)\,{\overset {!}{=}}\,0}$.

ولكي يمكن حل تلك المعادلة فلا بد أن تكون ${\displaystyle kL}$ عددا مضاعفا ل ${\displaystyle \pi }$ (حيث أن الحل بوضع المطال ${\displaystyle A=0}$ يعني عدم وجود الموجة على الإطلاق)، وبهذا يصبح:

${\displaystyle kL=n\pi \quad {\mbox{ , }}\quad n=1,2,3,...}$

وبناء على ذلك فلا بد أن تتخذ قيمة العدد الموجي ${\displaystyle k}$ قيم ذاتية منفصلة descrete values.

${\displaystyle k=k_{n}={\pi \over L}n\ ,\quad n\in \mathbb {N} }$

بمساعدة الشرط الثاني نحصل على أن تكون ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ عددا صحيحا.

عندما تكون ${\displaystyle n=0}$ تصبح الدالة الموجية ${\displaystyle \psi (x)=A\sin(0\cdot x)=0}$ مساوية للصفر في كل مكان ولا يمكن توحيد الدالة، وعلى ذلك فيكون الحل ${\displaystyle n=0}$ غير مسموح به.

وبالنسبة للقيم السالبة ${\displaystyle n^{\prime }=-n<0}$ تكون الدالة الموجية للجسيم هي نفسها كما في حالة ${\displaystyle n}$ الموجبة ماعدا اختلافهما في الإشارة، أي أن :

${\displaystyle \psi (x)=A\sin(k_{n^{\prime }}x)=A\sin(-k_{n}x)=-A\sin(k_{n}x)}$

ولا تؤدي الدوال الموجية ذات أعداد ${\displaystyle -n}$ صحيحة سالبة إلى وجود مستويات للطاقة جديدة. لذلك نقتصر على الحلول التي تعطي ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

وكما رأينا فإن الطاقة ${\displaystyle E}$ تعتمد على العدد الموجي ${\displaystyle k}$، وبالتعويض عنه نحصل على :

${\displaystyle E=E_{n}={\hbar ^{2}k_{n}^{2} \over 2m}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}={h^{2} \over 8mL^{2}}n^{2}\ ,\quad n\in \mathbb {N} }$

ونظرا لأن ${\displaystyle n}$ تتخذ أعدادا صحيحة فقط، فينطبق ذلك أيضا على الطاقة التي تتخذ هي الأخرى قيما محددة. أي أن طاقة الجسيم تكون كمومية، وبالتالي تكون مستويات الطاقة منفصلة.