صيغة تكامل المسار

تمثل إحدى الطرق الشائعة لاشتقاق صيغة تكامل المسار تقسيم الفاصل الزمني إلى أجزاء صغيرة. وعند فعل ذلك، تخبرنا صيغة تروتر أننا نستطيع تجاهل عدم حدوث عملية التبديل بين الطاقة الحركية والطاقة المحتملة.

تجري عملية تقريب تكامل المسار بالنسبة للأجسام ذات الاحتمالات السلسة لمسارات متعرجة، والتي تعتبر نتاج تكاملات عادية في بعد واحد. يعطى التسلسل الزمني لحركة الجسيم من المكان x_a في الوقت t_a إلى المكان x_b في الوقت t_b كالتالي:

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

والتي يمكن تقسيمها إلى n + 1 أجزاء أصغر t_j − t_{j − 1}، وتكون للأجزاء j = 1, ..., n + 1   مدة ثابتة

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

وتسمى هذه العملية تقسيم الوقت.

يمكن حساب نتيجة تقريبية لتكامل المسار كالتالي:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

حيث L(x, v) هي نظام لاغرانجيان في نظام أحادي البعد مع الاخذ بعين الاعتبار متغير المكان x(t) والسرعة v = ẋ(t)، ويتوافق المشتق dx_j مع المكان في كل خطوة زمنية j عند تقريب وقت التكامل بمجموع n.

ويصبح التكامل عندما تسعى إلى اللانهاية ∞ → n تكاملًا وظيفيًا، وهو نتاج سعات الاحتمال x_b, t_b|x_a, t_a (عندها يجب التعامل مع الطيف المستمر والكثافة المتعلقة به) للعثور على الجسيم الميكانيكي الكمي في الزمن t_a في حالته الأولية x_a، وفي الزمن t_b في حالته النهائية x_b.