لاغرانجيان

المسار المنحني لحركة المقذوفات قد وصفت عن طريق مجموعة قيم لاغرانج بالنسبة لوحدات الزمن بداية من أقل قيمة صغرى.

حساب لاغرانجيان، L = T - V، في لحظات زمنية متعددة (t)، لنحصل على رسم بياني يعبر عن L وt. المساحة التي تحت المنحني تُعبِّر عن الحركة. أي تغير في المسار بين أول نقطة وآخر نقطة يؤدي إلي تغير كبير في الحركة عن ما اختارته الطبيعة. الطبيعة تختار الحركات الصغيرة- وهذا هو أساسيات الحركة علي الأقل.

وباستخدام أساسيات الحركة على الأقل ومعادلات لاغرانجيان يمكننا استنتاج مسارات حركة المقذوفات، عن طريق التجربة والخطأ أو حساب المتغيرات.

«لو أن الفيزياء عرفت مشكلة ميكانيكا قذف الكرات بشكل أنيق، عندها سوف نعرف المشكلات الأخرى بنفس الطريقة. لذلك فهي تبدوا الآن. بعمق، في الوقت الحاضر حيث يمكننا وصف كل القوى الأساسية تحت شروط معادلات لاغرانجيان. البحث عن معادلة فيزيائية واحدة، التي تحكم كل الكون، تم البحث عنها علي نطاق واسع للحصول علي معادلات لاغرانجيان الملائمة.»[1]

تعطى معادلة الحركة من تغير الفعل حسب مبدأ الفعل

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0\,.}$

حيث الفعل ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$، هو تابع لمتغيرات مستقلة ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$ ومشتقاتها وS نفسها

${\displaystyle {\mathcal {S}}\left[\varphi _{i},{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial s}}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left[\varphi _{i}[s],{\frac {\partial \varphi _{i}[s]}{\partial s^{\alpha }}},s^{\alpha }\right]\,\mathrm {d} ^{n}s}}$

حيث تدل ${\displaystyle s=\{s^{\alpha }\}\!}$ على مجموعة من n متغير مستقل في النظام مرتبة ${\displaystyle \alpha =1,2,3,\ldots ,n.}$

وينتج عن اشتقاق هذا التابع معادلة أويلر - لاغرانج. على سبيل المثال وحسب الميكانيك الكلاسيكي فإن المتغيرات المستقلة لحركة الجزيئات هي فقط الزمن tوبذلك تنتج معادلة أويلر-لاغرانج

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\varphi }}_{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi _{i}}}.}$

بفرض فراغ ثلاثي البعد، يكون لاغرانجيان:

${\displaystyle L({\vec {x}},{\dot {\vec {x}}})\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\ -\ V({\vec {x}})}$.

ومنه معادلة أويلر-لاغرانج

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ -\ {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ 0}$

حيث ${\displaystyle i=1,2,3}$. وبالاشتقاق ينتج

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}\ =\ -\ {\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\ =\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\frac {1}{2}}\ m\ {\dot {\vec {x}}}^{2}\,\right)\ =\ {\frac {1}{2}}\ m\ {\frac {\partial ~}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\left(\,{\dot {x}}_{i}\,{\dot {x}}_{i}\,\right)=\ m\,{\dot {x}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\ \left(\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\,\right)\ =\ m\,{\ddot {x}}_{i}}$

وبذلك يمكن كتابة معادلة أويلر-لاغرانج

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}$

وباستخدام هذه المعادلة نجد أن لاغرانجيان ينتهي إلى قانون نيوتن الثاني

• بوابة الفيزياء
• بوابة رياضيات
• بوابة ميكانيكا الكم