موجة مادية

قام كلينتون دافيسون وليستر غريمير بإطلاق إلكترونات بطيئة نحو هدف من نيكل مبلور في مختبرات بيل عام 1927م. بعد قياس الارتباط الزاوي لشدة إلكترون الحيود، اتضح أن لديه نمط الحيود ذاته الذي توقعه براج للأشعة السينية. كان جورج باغيت طومسون في جامعة أبردين  في ذلك الوقت يقوم بإطلاق الإلكترونات بشكل مستقل على مجموعة من رقائق المعادن الرفيعة جدا، لإثبات الأثر ذاته. كان الحيود خاصية للموجات فقط حتى قبول فرضية دي-برولي. ولذلك فإن وجود أي آثار للحيود في المواد يؤكد الطبيعة شبه-الموجية للمادة. وعندما تم إدخال طول موجة دي-برولي شرط براغ، تم رصد نمط الحيود المتوقع، وبالتالي تم تأكيد فرضية دي-برولي للإلكترونات.  

كانت تلك نتيجة محورية ساهمت في تطوير مكانيكا الكم. إن دور تجربة دافيسون - غريمير في إظهار الطبيعة الموجية للمادة مشابهة لدور التأثير الكهروضوئي في توضيح الطبيعة الجسيمية للضوء، وقد ساهمت في إكمال نظرية التناظر الموجي-مادي. كانت هذه الفكرة من الأهمية بمكان للفيزيائيين، وذلك لأنها لا تعني أن أي جسيم يحمل خواص موجية فقط، بل أضافت إمكانية استخدام معادلات الموجات لوصف الظواهر المادية إذا استخدمنا طول موجة دي-برولي.

أدت التجارب على حيود فرينسل والمرآة الذرية لانعكاس الذرات الطبيعية في المنظار إلى إثبات تطبيق فرضية دي-برولي للذرات،  والتي تحدثت عن وجود موجات ذرية تتعرض للحيود والتشتت وكذلك تسمح بالانعكاس الكمي في وجود طاقة الجذب. ولقد ساهم التبريد بالليزر إلى تبريد الذرات الطبيعية إلى مستوى النانوكلفن. يظهر أطوال موجات دي-برولي الحرارية بأطوال ميكرومترية عند هذا المستوى المنخفض من الحرارة، وباستخدام حيود براغ للذرات وأسلوب رامزي لقياس التداخل الحراري، تم قياس طول موجة دي-برولي لذرات الصوديوم المبرد بوضوح، وقد وجدت مطابقة باستخدام طريقة أخرى لقياس درجة الحرارة.

استخدُم هذا التأثير لدلالة على التجسيم (الهولوجراف) الذري، وقد يؤدي إلى تصنيع نظام فحص تصويري للذرات بدقة نانومترية. إن وصف هذه الظواهر يعتمد على الخواص الموجية للذرات الطبيعية، مؤكدا فرضية دي-برولي.

ساعد هذا التأثير في شرح النسخة المكانية لتأثير زينو الكمي، والتي قد يتزن جسم مضطرب باستخدام عدد هائل من عمليات الرصد.

تؤكد التجارب الحديثة العلاقات السابقة للجزيئات وحتى الجزيئات الضخمة والتي تعتبر أحيانا كبيرة جدا لتمر بآثار ميكانيكا الكم. وقد أظهر فريق بحثي في فيننا عام 1999م حدوث الحيود لجزيئات ضخمة كالفليرينات، حيث قام الباحثون بحساب طول موجة دي-برولي لC60 غالبا وهو يتحرك بسرعة 2.5 بيكومتر. وتثبت التجارب المعاصرة الطبيعة الكمية للجزيئات حتى وزن 6910 وحدة كتلة ذرية.

باستخدام معادلتي النسبية الخاصة، بحيث إحداهما للزخم النسبي والأخرى للطاقة:

${\displaystyle E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}}$

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}}$

وبالتالي يمكن كتابة المعادلات كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lambda =\,\,{\frac {h}{\gamma m_{0}v}}\,=\,{\frac {h}{m_{0}v}}\,\,\,\,{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\\&f={\frac {\gamma \,m_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m_{0}c^{2}}{h}}{\bigg /}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle m_{0}}$  تمثل كتلة الراحة للجسيم، و ${\displaystyle v}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle c}$

فسر ألبرت آينشتاين التناظر الجسيم-موجي أولا عام 1905م. وافترض لويس دي-برولي أن أي جسيم يتعرض لذات التناظر. واستنتج أن سرعة الجسيم المتجهة يجب أن تكون مساوية لسرعة الإرسال المتجهة للموجة المصاحبة. حيث قيمة سرعة الإرسال تساوي سرعة الجسيم.

يمكن تعريف سرعة الإرسال المتجهة في فيزياء الكم النسبية وغير-النسبية لمعادلة موجة باستخدام السرعة المتجهة للجسيم.

وقد برهنت ميكانيكا الكم هذه الفرضية بدقة شديدة، وقدمت العلاقة بوضوح لجسيمات كبيرة الحجم كالجزيئات.  

استنتج دي-برولي أن تطبيق معادلات التناظر المعروفة للضوء على جميع الجسيمات سيؤكد فرضيته. مما يعني:

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}}$

حيث E الطاقة الكلية للجسيم، و p هي الزخم، و ħ ثابت بلانك المختصر. ولجسيم غير- نسبي حر يظهر أن:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v\end{aligned}}}$

حيث m  كتلة الجسيم، و  v سرعته المتجهة.

ونجد أيضا في النسبية الخاصة: ${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {pc^{2}}{E}}\end{aligned}}}$ حيث m₀ تمثل كتلة الراحة للجسيم، و c سرعة الضوء في الفراغ. ولكن (انظر الأسفل)، باستخدام ذلك فإن السرعة الزاوية المتجهة تصبح v_p = E/p = c²/v ، وإذن:

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{g}&={\frac {pc^{2}}{E}}\\&={\frac {c^{2}}{v_{p}}}\\&=v\end{aligned}}}$

حيث v تمثل سرعة الجسيم بصرف النظر عن السلوك الموجي.

تتصرف الجسيمات كموجات ذات زوايا مركبة في ميكانيكا الكم أيضا. تساوي السرعة الزاوية المتجهة حاصل ضرب التردد بالطول الموجي.

نجد من فرضية دي-برولي: ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}={\frac {E/\hbar }{p/\hbar }}={\frac {E}{p}}.}$ باستخدام العلاقات النسبية للطاقة والزخم، نجد أن: ${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {E}{p}}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{\gamma m_{0}v}}={\frac {c^{2}}{v}}={\frac {c}{\beta }}}$ حيث E هي الطاقة الكلية للجسيم (أي طاقة الراحة إضافة إلى الطاقة الحركية من وجهة نظر علم الحركة)، و p الزخم، و ${\displaystyle \gamma }$c سرعة الضوء، و β السرعة ككسر من سرعة الضوء c (جزء منها). يمكن اعتبار المتغير v سرعة الجسيم المتجهة أو سرعة الإرسال المتجهة للموجة الصاحبة. ولأن سرعة الجسيم ${\displaystyle v<c}$

${\displaystyle v_{\mathrm {p} }>c,\,}$

وكما نرى هنا، فإنها تقترب من c عندما يكون الجسيم في النطاق النسبي. إن هذه السرعة الزاوية المتجهة التي تتعدى سرعة الضوء لا تخالف النسبية الخاصة، لأن الانتشار الزاوي لا يحمل أي طاقة. انظر مقالة Dispersion (optics) للتفاصيل.

باستخدام أربع متجهات، تشكل علاقات دي-برولي معادلة واحدة:

${\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} }$

وهي غير معتمدة على الإطار.

وعلى غرارها، فإن العلاقة بين سرعة الإرسال / السرعة الجمعية المتجهة والسرعة الزاوية المتجهة تعطى بشكل مستقل عن الإطار كالتالي:

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} }$

حيث: أربعة للزخم${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}\mathbf {\hat {n}} \right)}$

${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=\gamma (c,v_{g}{\hat {\mathbf {n} }})}$