خوارزمية قيمة ذاتية

يمكن إيجاد حل تحليلي لقيم ذاتية لمصفوفات 2×2 مباشرة من الصيغة الرباعية:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

فتكون كثيرة الحدود المميزة هي

${\displaystyle {\rm {det{\begin{bmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{bmatrix}}=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)}}}$

وتكون الحلول

${\displaystyle \lambda ={\frac {a+d}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {(a+d)^{2}}{4}}+bc-ad}}={\frac {a+d}{2}}\pm {\frac {\sqrt {4bc+(a-d)^{2}}}{2}}}$

لاحظ أن كثيرة الحدود المميزة لمصفوفة 2×2 يمكن كتابته بدلالة الأثر ${\displaystyle {\mathcal {}}{\rm {tr}}(A)=a+d}$ والمحدد ${\displaystyle {\mathcal {}}{\rm {det}}(A)=ad-bc}$ بالشكل

${\displaystyle {\rm {det}}{\begin{bmatrix}a-\lambda &b\\c&d-\lambda \end{bmatrix}}={\rm {det}}\left[A-\lambda I_{2}\right]=\lambda ^{2}-\lambda {\rm {tr}}(A)+{\rm {det}}(A)}$

حيث ${\displaystyle I_{2}}$ هي مصفوفة الوحدة 2×2. لذا يمكن كتابة حلول القيم الذاتية لمصفوفة 2×2 بالصورة

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4{\rm {det}}(A)}}\right)}$

إذا كانت

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$

فإن كثيرة الحدود المميزة لـA هو

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a-\lambda &b&c\\d&e-\lambda &f\\g&h&i-\lambda \end{bmatrix}}=-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}(a+e+i)+\lambda (db+gc+fh-ae-ai-ei)+(aei-afh-dbi+dch+gbf-gce).}$

بالمثل يمكن كتابة كثيرة الحدود المميزة لمصفوفة 3×3 بدلالة الأثر ${\displaystyle {\mathcal {}}{\rm {tr}}(A)}$ و المحدد ${\displaystyle {\mathcal {}}{\rm {det}}(A)}$ على الصورة

${\displaystyle {\rm {det}}\left[A-\lambda I_{3}\right]=-\lambda ^{3}+\lambda ^{2}{\rm {tr}}(A)+\lambda {\frac {1}{2}}\left[{\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right]+{\rm {det}}(A)}$

حيث ${\displaystyle I_{3}}$ مصفوفة الوحدة 3×3.

في حال لم يكن لديك برامجيات علمية ذات دالة قيمة ممتلكة، فيما يلي مجموعة من الخطوات التي يمكنك استعمالها كشفرة عامة لمساعدتك في إنشاء برنامج لحل المسائل.

للنوع 2×2:

//we know there are two eigen values, so the
//equations from above can be hard-coded in with minimal effort

Eig11 = (a+d)/2 + sqrt(((a+d)*(a+d))/4 + bc – ad)
Eig12 = (a+d)/2 - sqrt(((a+d)*(a+d))/4 + bc – ad)
//eig11 is the value found using + and eig12 is the value using -
//or we get the same two eigenvalues with the modified equation
Eig21 = (a+d)/2 + sqrt(4bc + (a-d)(a-d))/2
Eig22 = (a+d)/2 - sqrt(4bc + (a-d)(a-d))/2

للنوع 3×3:

//a 3×3 is more complicated and requires several helper equations
//to accomplish due to the λ³ term.
//These steps should help you calculate eigen values for a matrix
//that has ***3 REAL eigen values***.

Define x,y,z
//Use the equation from above to get your cubic equation and
//combine all constant terms possible to
//give you a reduced equation we will use a, b, c and d to denote
//the coefficients of this equation.
Eqn = aλ³ + bλ² + cλ + d = 0
x = ((3c/a) – (b²/a²))/3
y = ((2b³/a³) – (9bc/a²) + (27d/a))/27
z = y²/4 + x³/27

Define I, j, k, m, n, p (so equations are not so cluttered)
i = sqrt(y²/4 - z)
j = -i^(1/3)
k = arccos(-(y/2i))
m = cos(k/3)
n = sqrt(3)*sin(k/3)
p = -(b/3a)

Define Eig1, Eig2, Eig3
Eig1 = -2j*m + p
Eig2 = j *(m + n) + p
Eig3 = j*(m - n) + p

ملاحظة: لاتعمل هذه الطريقة في حال المصفوفات المفردة (ذات قيمة أو أكثر ممتلكة صفرية).

% Given symmetric 3x3 matrix M, compute the eigenvalues
m = trace(M)/3;
K = M-m*eye(3);
q = det(K)/2;

p = 0
for i=1:3
    for  j=1:3
        p = p + K(i,j)^2;
    end
end
p = p/6;

phi = 1/3*atan2(sqrt(p^3-q^2), q);
if(phi<0)
    phi=phi+pi/3;
end

eig1 = m + 2*sqrt(p)*cos(phi)
eig2 = m - sqrt(p)*(cos(phi) + sqrt(3)*sin(phi))
eig3 = m - sqrt(p)*(cos(phi) - sqrt(3)*sin(phi))

بالنسبة للمصفوفات التي تحقق الشرط ${\displaystyle A^{2}=\alpha }$ يمكن كتابة صيغ خاصة للقيم الممتلكة الممكنة.

${\displaystyle P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\sqrt {\alpha }}}\right)}$

${\displaystyle P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\sqrt {\alpha }}}\right)}$

مع

${\displaystyle AP_{+}={\sqrt {\alpha }}P_{+}\quad AP_{-}=-{\sqrt {\alpha }}P_{-}}$

و

${\displaystyle P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0}$

وهذا يعطي الحل مرة أخرى للمتطابقة

${\displaystyle I=P_{+}+P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\sqrt {\alpha }}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\sqrt {\alpha }}}\right)}$