دالة جمعية

يقال عن دالة جمعية[2] ${\displaystyle f(n)}$ أنها جمعية بالكامل إذا كان ${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ . إذا كانت ${\displaystyle f}$ دالة جمعية بالكامل، فإن ${\displaystyle f(1)=0}$.

كل دالة جمعية بالكامل هي دالة جمعية، لكن العكس غير صحيح.

أمثلة لدوال حسابية جمعية بالكامل:

• دالة أوميغا الأولية ${\displaystyle \Omega (n)}$، المعروفة باسم "دالة أوميغا الكبيرة"، والتي تقوم بحساب العدد الإجمالي للعوامل الأولية للعدد ${\displaystyle n}$[3]، على سبيل المثال:

${\displaystyle ,\Omega (1)=0}$ لأن العدد 1 ليس له عوامل أولية.

${\displaystyle \Omega (4)=2}$

${\displaystyle \Omega (16)=\Omega (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)=4}$

${\displaystyle \Omega (20)=\Omega (2\cdot 2\cdot 5)=3}$

${\displaystyle \Omega (27)=\Omega (3\cdot 3\cdot 3)=3}$

${\displaystyle \Omega (144)=\Omega (24\cdot 32)=\Omega (24)+\Omega (32)=4+2=6}$

${\displaystyle \Omega (2,000)=\Omega (24\cdot 53)=\Omega (24)+\Omega (53)=4+3=7}$

${\displaystyle \Omega (2,001)=3}$

${\displaystyle \Omega (2,002)=4}$

${\displaystyle \Omega (2,003)=1}$

${\displaystyle \Omega (54,032,858,972,279)=3}$

${\displaystyle \Omega (54,032,858,972,302)=6}$

${\displaystyle \Omega (20,802,650,704,327,415)=7}$

أمثلة لدوال حسابية جمعية، ولكنها ليست جمعية بالكامل:

• دالة أوميغا الأولية ${\displaystyle \omega (n)}$، المعروفة باسم "دالة أوميغا الصغيرة"، والتي تقوم بحساب عدد العوامل الأولية المميزة للعدد ${\displaystyle n}$.[4] مثلاً:

${\displaystyle \omega (4)=1}$

${\displaystyle \omega (16)=\omega (24)=1}$

${\displaystyle \omega (20)=\omega (22\cdot 5)=2}$

${\displaystyle \omega (27)=\omega (33)=1}$

${\displaystyle \omega (144)=\omega (24\cdot 32)=\omega (24)+\omega (32)=1+1=2}$

${\displaystyle \omega (2,000)=\omega (24\cdot 53)=\omega (24)+\omega (53)=1+1=2}$

${\displaystyle \omega (2,001)=3}$

${\displaystyle \omega (2,002)=4}$

${\displaystyle \omega (2,003)=1}$

${\displaystyle \omega (54,032,858,972,279)=3}$

${\displaystyle \omega (54,032,858,972,302)=5}$

${\displaystyle \omega (20,802,650,704,327,415)=5}$

نقول عن دالة حسابية ${\displaystyle g(n)}$، أنها دالة ضربية إذا كان ${\displaystyle g(ab)=g(a)\cdot g(b)}$، لكل عددين ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ أوليين فيما بينهما.

لاحظ أنه إذا كانت ${\displaystyle f(n)}$ دالة جمعية، فيمكننا تكوين دالة ضربية بسهولة، مثلاً: ${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$.

• دالة حسابية.
• دالة أوميغا الأولية.

• بوابة رياضيات