دالة أوميغا الأولية

${\displaystyle \omega (n)}$ هي دالة جمعية و ${\displaystyle \Omega (n)}$ هي جمعية بالكامل، نُعرف ${\displaystyle \omega (n)}$ كالآتي:

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

إذا كان ${\displaystyle p}$ يقسم ${\displaystyle n}$ مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال ${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$. أما بالنسبة ل ${\displaystyle \Omega (n)}$ فتُعرّف كالآتي:

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha }$

إذا كان ${\displaystyle p}$ يقسم ${\displaystyle n}$ عدد ${\displaystyle \alpha }$ من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال ${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$. لاحظ أنه ${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$. إذا كان ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$ فإن ${\displaystyle n}$ هو مربع حر ويعبر عنه باستعمال دالة موبيوس كالآتي:

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

إذا كان ${\displaystyle \Omega (n)=1}$ فإن ${\displaystyle n}$ عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة ${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$ .[1]

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل ${\displaystyle \Omega (n)}$ أو ${\displaystyle \omega (n)}$ لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب ${\displaystyle \omega (n)}$ بالمتسلسة الآتية [2]

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}}}$

بحيث ${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$ هو ثابت ميرتنز و ${\displaystyle \gamma _{j}}$ هي ثوابت ستيلتجيس.

الدالة ${\displaystyle \omega (n)}$ لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات [3]

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

تم العثور على استمرار ل ${\displaystyle \omega (n)}$ ، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.[4]

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}$

• دالة جمعية
• دالة حسابية

• بوابة رياضيات