عدد مؤلف للغاية

يوضح الجدول أدناه بعض الأعداد المؤلفة للغاية.[2] و يرمز ${\displaystyle d(n)}$ إلي عدد قواسم العدد n .

لائحة الأعداد المؤلفة للغاية

الترتيب	العدد	العوامل الأولية	عدد العوامل الأولية	(d(n
1	1		0	1
2	2	${\displaystyle 2}$	1	2
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	2	3
4	6	${\displaystyle 3\cdot 2}$	2	4
5	12	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	3	6
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	4	8
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	4	9
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	5	10
9	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	4	12
10	120	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	5	16
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	5	18
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	6	20
13	360	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	6	24
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	7	30
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	6	32
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	6	36
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	7	40

بشكل تقريبي، لكي يكون عدد ما مؤلفا للغاية، يجب أن يكون له عوامل أولية صغيرة قدر الإمكان [3].وفقًا للمبرهنة الأساسية في الحساب ، فإن كل عدد صحيح موجب ${\displaystyle n}$ له عوامل أولية فريدة :

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

بحيث ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ هم أعداد أولية، والقوى ${\displaystyle c_{i}}$ هم أعداد صحيحة موجبة.

عدد قواسم الأعداد بين 1 و 1000. الأعداد المؤلفة للغاية مكتوبة بخط غليظ.

أي قاسم ل ${\displaystyle n}$ يجب أن يكون على الشكل الآتي :

${\displaystyle p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k}$

إذاً عدد قواسم ${\displaystyle n}$ هو :

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

و من هنا يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان ${\displaystyle n}$ عددا مؤلفا للغاية :

• يجب أن تكون عوامله الأولية متسلسلة بالترتيب (2 ، 3 ، 5 ، ...) ؛ إذا لم يكن الأمر كذلك، فيمكننا استبدال أحد الأعداد الأولية بعدد أولي أصغر منه، وبالتالي الحصول على رقم أصغر من ${\displaystyle n}$ بنفس عدد القواسم (على سبيل المثال، يمكن استبدال${\displaystyle 10=2\cdot 5}$ بـ ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ ؛ كلاهما له أربعة قواسم) .
• يجب أن يكون تسلسل القوى غير متزايد، أي أن :${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$ ،إذا لم يكن الأمر كذلك، من خلال تبادل اثنين من القوى، سنحصل مرة أخرى على عدد أصغر من ${\displaystyle n}$ بنفس عدد القواسم (على سبيل المثال ${\displaystyle 18=21\cdot 32}$ يمكن استبدالها بـ${\displaystyle 12=22\cdot 31}$ ؛ كلاهما له ستة قواسم).

يمكننا إستنتاج قاعدة بسيطة من خلال ملاحظة قائمة الأعداد المؤلفة للغاية، وهي أنه إذا كان ${\displaystyle n}$ عددا مؤلفاً للغاية، فهذا يعني أن آخر عامل أولي ل ${\displaystyle n}$ له أس يساوي واحد. ولكن هذه القاعدة لها استثناء وحيد وهو في الحالات التالية :${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle n=4}$ و ${\displaystyle n=36}$.

لاحظ أنه على الرغم من أن الشروط الموصوفة أعلاه ضرورية، إلا أنها غير كافية لكي يكون العدد مؤلفاً للغاية.  على سبيل المثال، ${\displaystyle 2^{5}\cdot 3=96}$ يستوفي الشروط المذكورة أعلاه ويحتوي على 12 قاسم ولكنه ليس مؤلفاً للغاية، نظرًا لوجود عدد أصغر، وهو 60 و يحتوي على نفس عدد القواسم.

إذا كانت ${\displaystyle Q(x)}$ تشير إلى عدد الأعداد المؤلفة للغاية الأقل من أو تساوي ${\displaystyle x}$ ، فإن هناك ثابتين ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ ، كلاهما أكبر من 1 ، بحيث :

${\displaystyle (\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.}$

تم إثبات الجزء الأول من هذه المتفاوتة بواسطة بول إيردس في عام 1944 والجزء الثاني بواسطة جان لويس نيكولاس في عام 1988. لدينا:[4]

${\displaystyle 1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44}$

بالإضافة إلى :

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .}$

• مؤشر أويلر
• عدد مؤلف
• دالة القواسم

• بوابة نظرية الأعداد
• بوابة رياضيات