عدد مثلثي تربيعي

بكتابة N_k للعدد المثلثي التربيعي kوبكتابة s_k وt_k لأطراف التربيع والتكعيب المقابلة بالصورة

${\displaystyle N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.}$

عرف الجذر المثلثي للعدد المثلثي ${\displaystyle N={\frac {n(n+1)}{2}}}$ على أنه ${\displaystyle n}$. من التعريف ومن الصيغة التربيعية ${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.}$لذلك، ${\displaystyle N}$ يكون مثلثي إذا وإذا كان فقط ${\displaystyle 8N+1}$ تربيعيا. بناء عليه، ${\displaystyle M^{2}}$ يكون تربيعيا ومثلثيا إذا وإذا كان فقط ${\displaystyle 8M^{2}+1}$ تربيعيا، بعبارة أخرى، توجد أعداد ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle y}$ بحيث ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$. هذه صورة من معادلة بيل مع ${\displaystyle n=8}$. جميع معادلات بيل لها حلول بديهية لأي قيمة n، يدعى هذا الحل بالصفري ويفهرس ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. إذا كان${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ يرمز إلى الحل اللابديهي k لأي معادلة بيل لقيمة محدد n، فيمكن تبيان أن ${\displaystyle x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}}$ و${\displaystyle y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}}$. بالتالي هناك لانهاية من الحلول لأي معادلة بيل بحيث لها حل لابديهي محقق كلما كانت n غير مربعة. الحل اللابديهي الأول عندما n=8 سهل الإيجاد: إنه (3,1). الحل ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$ لمعادلة بيل عندما n=8 ينتج عدد مثلثي تربيعي وجذورة التربيعية والمثلثية: ${\displaystyle s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},}$ و${\displaystyle N_{k}=y_{k}^{2}.}$ بالتالي، العدد المثلثي التربيعية الأول، مشتق من (3,1), is 1، والثاني مشتق من (17,6) (=6×(3,1)-(1,0)), هو 36.

في 1778 استطاع ليونارد أويلر إيجاد الصيغة الصريحة [1][2]^:12–13

${\displaystyle N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.}$

من الصيغ الأخرى المكافئة (نحصل عليها من نشر هذه الصيغة) التي قد تكون مناسبة

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}}$

الصيغ الصريحة المقابلة لـ s_k وt_k هي [2]^:13

${\displaystyle s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}}$

و

${\displaystyle t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.}$

تنخفض مسألة الأعداد التربيعية المثلثية إلى معادلة بيل بالطريقة التالية.[3] كل عدد مثلثي هو بالصورة t(t + 1)/2. لذلك نبحث عن أعداد صحيحة t، s بحيث

${\displaystyle {\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.}$

بتحليل جبري بسيط تصبح

${\displaystyle (2t+1)^{2}=8s^{2}+1,}$

ثم بجعل x = 2t + 1 وy = 2s، نحصل على معادلة ديفونتية

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$

وهي صورة من معادلة بيل. هذه المعادلة بالذات تحل عن طريق عدد بيلs P_k بصورة [4]

${\displaystyle x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};}$

ولذلك فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقة

${\displaystyle s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.}$

هناك العديد من المتطابقات حول عدد بيل، وهذه تترجم إلى متطابقات حول العدد التربيعي المثلثي.

هناك صيغ تكرارية للأعداد التربيعية المثلثية، وكذلك للمربعات والمثلثيات ذات العلاقة. لدينا[5]^:(12)

${\displaystyle N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.}$

${\displaystyle N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},{\text{ with }}N_{0}=0{\text{ and }}N_{1}=1.}$

لدينا[1][2]^:13

${\displaystyle s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2},{\text{ with }}s_{0}=0{\text{ and }}s_{1}=1;}$

${\displaystyle t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,{\text{ with }}t_{0}=0{\text{ and }}t_{1}=1.}$

مع كبر قيمة ${\displaystyle k}$ ، تصبح النسبة ${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$ قريبة من ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.41421356}$ ونسبة الأعداد التربيعية المثلية تقترب من ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33.970562748}$. الجدول التالي يعطي قيما من ${\displaystyle k}$ between 0 and 11، والتي توضح كل الأعداد التربيعية المثلثية حتى ${\displaystyle 100\,000\,000}$.

${\displaystyle k}$	${\displaystyle N_{k}}$	${\displaystyle s_{k}}$	${\displaystyle t_{k}}$	${\displaystyle t_{k}/s_{k}}$	${\displaystyle N_{k}/N_{k-1}}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1.00000000}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 36}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 1.33333333}$	${\displaystyle 36.000000000}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 1\,225}$	${\displaystyle 35}$	${\displaystyle 49}$	${\displaystyle 1.40000000}$	${\displaystyle 34.027777778}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 41\,616}$	${\displaystyle 204}$	${\displaystyle 288}$	${\displaystyle 1.41176471}$	${\displaystyle 33.972244898}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1\,413\,721}$	${\displaystyle 1\,189}$	${\displaystyle 1\,681}$	${\displaystyle 1.41379310}$	${\displaystyle 33.970612265}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 48\,024\,900}$	${\displaystyle 6\,930}$	${\displaystyle 9\,800}$	${\displaystyle 1.41414141}$	${\displaystyle 33.970564206}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 1\,631\,432\,881}$	${\displaystyle 40\,391}$	${\displaystyle 57\,121}$	${\displaystyle 1.41420118}$	${\displaystyle 33.970562791}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 55\,420\,693\,056}$	${\displaystyle 235\,416}$	${\displaystyle 332\,928}$	${\displaystyle 1.41421144}$	${\displaystyle 33.970562750}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 1\,882\,672\,131\,025}$	${\displaystyle 1\,372\,105}$	${\displaystyle 1\,940\,449}$	${\displaystyle 1.41421320}$	${\displaystyle 33.970562749}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 63\,955\,431\,761\,796}$	${\displaystyle 7\,997\,214}$	${\displaystyle 11\,309\,768}$	${\displaystyle 1.41421350}$	${\displaystyle 33.970562748}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 2\,172\,602\,007\,770\,041}$	${\displaystyle 46\,611\,179}$	${\displaystyle 65\,918\,161}$	${\displaystyle 1.41421355}$	${\displaystyle 33.970562748}$

• عدد مثلثي مربع

• مثلثية تربيعية على cut-the-knot
• إيريك ويستاين، Square Triangular Number، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).

• حل مايكل دميت

• بوابة نظرية الأعداد
• بوابة رياضيات