عنصر الخط

إن التعريف المستقل للإحداثيات لمربع عنصر الخط ds في مشعب ريماني ذو أبعاد n أو مشعب ريماني متعدد الطيات (في الفيزياء عادةً ما يكون مشعب لورنتزي) هو "مربع الطول" لإزاحة متناهية الصغر ${\displaystyle d\mathbf {q} }$ (في مشعبات ريماني الزائفة من المحتمل أن تكون سالبة) يجب استخدام الجذر التربيعي لحساب طول المنحنى:

$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$$

حيث g موتر متري. من خلال تحديد معلمات منحنى ${\displaystyle q(\lambda )}$، يمكننا تحديد طول القوس لطول منحنى بين ${\displaystyle q(\lambda _{1})}$ و ${\displaystyle q(\lambda _{2})}$ كعملية تكامل:

${\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}$

لحساب طول معقول للمنحنيات من الأفضل افتراض أن الإزاحات متناهية الصغر لها نفس العلامة في كل مكان. على سبيل المثال في الفيزياء، يكون مربع عنصر خط على طول منحنى الخط الزمني (في اصطلاح التوقيع ${\displaystyle -+++}$) سالبًا ويقيس الجذر التربيعي السالب لمربع عنصر الخط على طول المنحنى الوقت المناسب يمر لمراقب يتحرك على طول المنحنى. من وجهة النظر هذه، يحدد المقياس أيضًا، بالإضافة إلى عنصر الخط، السطح وعنصر الحجم .. إلخ.[3]