فولتمتر كهروستاتيكي

المروحة موجبة الشحن

تشحن المروحة إلى جهد موجب أكبر من الجهد المراد قياسه

الابرة في المروحة موجبة الشحنة للفولتمتر ذو الربع دائرة

في هذا النوع من التوصيل فإن الأرباع توصل مع بعضها كل زوجين متقابلين على نفس القطر، وتشحن المروحة إلى جهد أكبر من الجهد المطلوب قياسه V، وفرق الجهد تحت القياس يسلط من الأزواج[2]

وفي التوصيل الهيتروستاتيكي للبساطة نعتبر فقط نصف الأبرة مع الربعين[3] (A ، B) المجاورين لها، ولتكون قطاع من دائرة ذات نصف قطر (r) متر وأن الانحراف الزاوي هو 2a، فعند وضع الصفر فإن الإبرة تكون موضوعة بالتماثل في الربعين وبذلك يكون انحراف الإبرة لكل ربع هو a [4]

ونفرض أن جهد الإبرة والربع A والربع B على الترتيب V_B, V_A, V₁ حيث أن

V_B <V_A <V₁

والترتيب المذكور هو أساساً بالضرورة عبارة عن مكثفين متصلين على التوالي وكل منهما يتكون من الأجزاء العليا والسفلى لألواح أحد الأرباع المزدوجة وكلا الجانبين لجزء من الأبرة.

وعندما تدور الإبرة فرضاً في اتجاه الساعة فإن سعة الربع B تزيد، بينما سعة الربع A تقل وبفرض أن d هي بعد المروحة عن كل من الربعين وأن 2a هي زاوية قطع الإبرة ولذلك وقبل أي انحراف فإن سعة الربع A.

${\displaystyle C_{A}={\frac {2\varepsilon _{0}A}{d}}}$

${\displaystyle ={\frac {2\varepsilon _{0}\times {\frac {1}{2}}r^{2}a}{d}}={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}a}{d}}}$

وحيث أن الألواح في وسط هوائي ويوجد وجهين للمراوح، و ${\displaystyle A={\frac {r^{2}a}{2}}}$

وبالمثل فإن سعة الربع B

${\displaystyle C_{B}={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}a}{d}}}$

أي أن ${\displaystyle C_{A}=C_{B}}$

وعندما تدور الإبرة في اتجاه عقارب الساعة ${\displaystyle \theta }$ من وضع الصفر فإن سعة الربع A، وسعة الربع B تصبح :

${\displaystyle C_{A}={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}(a-\theta )}{d}}}$

${\displaystyle C_{B}={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}(a-\theta )}{d}}}$

والطاقة المخزنة في المكثف A

${\displaystyle W_{A}={\frac {1}{2}}C_{A}(V_{1}-V_{A})^{2}}$

والطاقة المخزنة في المكثف B

${\displaystyle W_{B}={\frac {1}{2}}C_{B}(V_{1}-V_{B})^{2}}$

والطاقة الكلية المخزنة في هذا الوضع

${\displaystyle W={\frac {1}{2}}C_{A}(V_{1}-V_{A})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{B}(V_{1}-V_{B})^{2}}$

فإذا كان عزم الانحراف المقابل لهذا الوضع هو ${\displaystyle T_{\theta }}$، فإذا تم التقدم بقيمة انحراف صغيرة ${\displaystyle d\theta }$ للإبرة المتحركة، فإن الشغل المبذول على النظام المتحرك هو ${\displaystyle T_{\theta }.d\theta }$ والذي يتساوى مع الزيادة في الطاقة المخزنة dw أي أن :

${\displaystyle T_{\theta }d_{\theta }=dw}$

أو أن

${\displaystyle T_{\theta }={\frac {dw}{d\theta }}={\frac {d}{d\theta }}[{\frac {1}{2}}C_{A}(V_{1}-V_{B})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{B}(V_{1}-V_{b})^{2}]}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{A})^{2}{\frac {d}{d\theta }}C_{A}+{\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{\theta })^{2}{\frac {d}{d\theta }}CB}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{A})^{2}{\frac {d}{d\theta }}[{\frac {\varepsilon _{0}r^{2}(a-\theta )}{d}}]+{\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{B})^{2}{\frac {d}{d\theta }}[{\frac {\varepsilon _{0}r^{2}(a+\theta )}{d}}]}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{A})^{2}{\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{d}}+{\frac {1}{2}}(V_{1}-V_{B})^{2}{\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{d}}}$

${\displaystyle ={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}[(V_{1}-V_{B})^{2}-(V_{1}-V_{A})^{2}]}$

${\displaystyle T_{\theta }={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}(V_{A}-V_{B})(2V_{1}-V_{A}-V_{B})NM}$

إذاً بالنسبة لكل الأربع القطاعات :

${\displaystyle T_{t}heta={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}(V_{A}-V_{B})(2V_{1}-V_{A}-V_{B})NM}$

والعزم سوف يكون موجباً فقط عندما تكون ${\displaystyle 2V_{1}>(V_{A}+V_{B})}$

المروحة سالبة الشحن في الفولتمتر الكهروستاتيكي من النوع ذا الربع دائرة

في هذا النوع من التوصيل فإن الإبرة توصل مباشرة لأحد أزواج الأرباع [5]

وعندما يوصل الجهاز بالطريقة الاديوستاتيكية فإن الربع الثابت المقابل لليد اليسرى يصبح موجب الشحنة، والربع المقابل لليد اليمنى يصبح سالب الشحنة، ويصبح القطاع المتحرك سالب الشحنة، وبذلك فإن النهايات العليا والسفلى للربع المقابل لليد اليسرى تجذب القطاع المتحرك بالقرب منه ولكن بما أن قوى التجاذب الناتجة عن النهايتين متساويتين ومتضادتين ومتعادلتين فإن القطاع المتحرك لا يتحرك عمودياً على السطح المستوي بسبب الربع الثابت المقابل لليد اليسرى، ويحدث نفس الشيء إذا اعتبرنا الجزء المقابل لليد اليمنى وجزء القطاع المتحرك القريب منه، والفرق الوحيد هو أن القوى هي قوى تنافر.

الربع المقابل لليد اليسرى الموجب يجذب جزء من القطاع المتحرك القريب للربع المقابل لليد اليمنى، بينما الربع السالب المقابل لليد اليمنى يتنافر مع الجزء السالب القريب بين الربع المقابل لليد اليسرى وبالتالي تؤدي إلى حركة القطاع المتحرك والذي بدورة يحرك المؤشر، ويكون عزم الانحراف الناتج يتناسب مع مربع فرق الجهد المسلط على الجهاز، ولذلك فإنه يُستخدم لقياسات التيار الثابت والمتردد.[6]

وكذلك في حالة التوصيل الهيتروستاتيكية فإن الشد على القطاع المتحرك بسبب النهايات العليا والسفلى تلغي بعضهما البعض وينتج عزم الانحراف نتيجة قوة الجذب بين الجزء المقابل لليد اليسرى من القطاع المتحرك والربع الثابت المقابل لليد اليمنى، وكذلك قوة التنافر بين الجزء المقابل لليد اليمنى من القطاع المتحرك، والربع الثابت المقابل لليد اليسرى.

في التوصيل الاديوستاتيكي نفرض أن جهد الربع A هو V_A وجهد الإبرة هو V₁ إذاً عزم الانحراف يساوي :

${\displaystyle T_{\theta }={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}(V_{A}-V_{B})(V_{A}-V_{B})={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}V^{2}}$

حيث V هي فرق الجهد المقاس ويساوي ${\displaystyle (V_{A}-V_{B})}$

الإشارة الموجبة تبين أن الإبرة سوف تدور في اتجاه عقارب الساعة، كما افترض إلى داخل الربع B.

فإذا وضعنا في الاعتبار كل الأربعة القطاعات والإبرة ذات القطاع المزدوج فإن عزم الانحراف سوف يكون

${\displaystyle T_{\theta }={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}V^{2}\times 2={\frac {\varepsilon _{0}r^{2}}{2d}}V^{2}NM}$

من المعادلة السابقة لعزم الانحراف يتضح أن :

• في حالة التوصيل الاديوستاتيكي فإن عزم الانحراف ${\displaystyle T_{\theta }aV^{2}}$

حيث V الجهد المقاس، ولذلك نحصل على تدريج يتبع القانون التربيعي.

• في حالة التوصيل الهيتروستاتيكي فإن عزم الانحراف

${\displaystyle T_{\theta }a(V_{A}-V_{B})(2V_{1}-V_{A}-V_{B})}$

وإذا كان فرق الجهد المسلط على المروحة V₁ عالي جداً فإن

${\displaystyle (2V_{1}-V_{A}-V_{B})=2V_{1}}$

وعزم الانحراف ${\displaystyle T_{\theta }}$

${\displaystyle T_{\theta }a2V_{1}(V_{A}-V_{B})}$

وبالتالي فعند قياسات التيار المتردد [7] يستخدم فقط التوصيل الاديوستاتيكي، حيث أن عزم الانحراف يتناسب مع مربع الجهد المطلوب قياسه.

• في توصيلات الهيتروستاتيك نحصل على دقة أكثر لأننا في هذه الحالة نحصل على انحراف كبير نسبياً لنفس فرق الجهد.
• في توصيلات الهيتروستاتيك الانحراف يتناسب مع فرق الجهد المقاس بينما في توصيل الاديوستاتيك الانحراف يتناسب مع مربع فرق الجهد تحت القياس ولذا فعند قياس التيار المتردد يستخدم فقط توصيل الاديوستاتيك.
• بالنسبة لانحراف معين فإن القيمة ${\displaystyle (V_{A}-V_{B})}$ كبيرة جداً في توصيل الاديوستاتيك عن توصيل الهتروستاتيك ولذا فإن مدى الجهاز أكبر في حالة توصيل الاديوستاتيك ولو كانت الدقة في هذه الحالة أقل.

يستخدم لزيادة مدى القياس في حالة التيار المستمر مقسم جهد.

ومن الرسم :

${\displaystyle {\frac {V}{V_{r}}}={\frac {R}{r}}}$

${\displaystyle V=V_{r}({\frac {R}{r}})}$

ويعرف المقدار ${\displaystyle ({\frac {R}{r}})}$ بمعامل المضاعفة.

في حالة التيار المتردد يُستخدم المضاعف السعوي.

المضاعف السعوي

مضاعف سعوي

${\displaystyle {\frac {V}{V_{V}}}={\frac {C_{V}+C}{C}}}$

${\displaystyle V=V_{V}({\frac {C_{V}+C}{C}})=V_{r}(1+{\frac {C_{V}}{C}})}$

ويعرف المقدار ${\displaystyle ({\frac {C_{V}}{C}})}$ بمعامل المضاعفة.

مقسم الجهد السعوي

مضاعف سعوي صغير

القدرة المستهلكة منعدمة أو ضئيلة جداً ونظراً لتغيير قيمة سعة الجهاز C_V، مما يؤدي إلى حدوث خطأ في القياس، وفي حالة التيار المتغير فإنه عادةً يتم توصيل مكثف على التوازي مع الجهاز، ذو قيمة أكبر من سعته لتقليل أثر ذلك.

${\displaystyle V_{c}=V{\frac {C_{1}}{C_{1}+(C_{2}+C_{v})}}}$

${\displaystyle V=V_{c}{\frac {C_{1}+C_{2}+C_{v}}{C_{1}}}}$

${\displaystyle =V_{c}[1+{\frac {C_{2}+C_{v}}{C_{1}}}}$

${\displaystyle V=V_{c}[1+{\frac {C_{2}}{C_{1}}}}$

حيث أن ${\displaystyle C_{1}+C_{2}={\frac {C_{2}+C_{v}}{C_{1}}}}$ هو معامل المضاعفة ولا يتأثر بتغير قيمة C_v