كمون إتجاهي

في حساب المتجهات، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي ودورانه عبارة عن حقل متجهي.[1][2] وهذا مماثل للكمون القياسي (العددي)، وهو حقل قياسي وتباعده عبارة عن حقل متجهي.

الصيغة الرياضية :

لحقل متجهي v، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي A بحيث أن :

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$

النتيجة :

إذا كان الحقل المتجهي v يُعطي حقل متجهي A، وبمعرفة أن تباعد الدوران (Divergence of the curl) يساوي صفر :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

وهذا يقتضي أن يكون v حقل متجهي لولبي(solenoidal vector field)، أي أن قيمة التباعد عند أي نقطة في المجال تساوي صفر.

النظرية:

ليكن v (متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد) حقل متجهي لولبي قابل للإشتقاق مرتين بشكل متصل. افترض أن v(x) ينقص بسرعة كافية كلما ذهبت ||x|| للمالانهاية :

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$

و A عبارة عن كمون إتجاهي لـ v :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} }$

تعميم لهذه النظرية هو تحليل هلمهولتز الذي ينص على أن أي حقل إتجاهي يمكن أن يتم تحليله كمجموع حقل متجهي لولبي وحقل متجهي لا دوراني.

عدم التفرد:

الكمون الإتجاهي لمتجه لولبي ليس وحيد. إذا كان A كمون إتجاهي لـ v ، إذن (${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f}$) هو كذلك كمون إتجاهي ، حيث f عبارة عن أي اقتران عددي متصل قابل للإشتقاق. وهذا يتبع لحقيقة أن قيمة دوران التباعد هي صفر.