مبرهنة ليوفيل (تحليل مركب)

في التحليل العقدي، مبرهنة ليوفيل (بالإنجليزية: Liouville's theorem)‏ تنص على كل دالة كاملة محاطة هي بالضرورة الدالة الثابتة.[1] سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف ليوفيل.

البرهان

ليكن b, a أية نقطتين في المستوي Z ولتكن C دائرة مركزها a ونصف قطرها r بحيث باستعمال صيغة كوشي التكاملية الأولى ينتج:-

ولما كانت f (Z) محددة في المستوي Z فإنه يوجد عدد حقيقي موجب M بحيث | f (Z)|< M لكل Z داخل وعلى محيط الدائرة، ولما كان محيط الدائرة 2 ? r فإنه ينتج:

بموجب المتباينة الموجودة في مبرهنة سابقة.

والآن إذا جعلنا r ? ? نجد أن أي ان ولما كانت b, a أية نقطتين في المستوي Z

? تكون الدالة f ثابتة. وبهذا ينتهي البرهان.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.