مبرهنة منصف الزاوية

المثلث ABC

باستخدام قوانين مساحة المثلث:

1- مساحة المثلث ADC

${\displaystyle {\frac {1}{2}}AE.DC={\frac {1}{2}}AD.AC\sin \alpha =}$

2- مساحة المثلث ADB

${\displaystyle {\frac {1}{2}}AE.BD={\frac {1}{2}}AD.BA\sin \beta =}$

بقسمة 2 على 1 نصل إلى:

${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}}$ و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن ${\displaystyle \beta =\alpha }$.

AD منصف للزاوية A

باستخدام قانون الجيوب:

في المثلث ADC:

${\displaystyle {\frac {AC}{\sin {ADC}}}={\frac {DC}{\sin \alpha }}}$ ${\displaystyle \sin {ADC}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}}$

في المثلث ADB:

${\displaystyle {\frac {BA}{\sin {ADB}}}={\frac {DB}{\sin \beta }}}$ ${\displaystyle \sin {ADB}={\frac {BA\sin \beta }{DB}}}$ ${\displaystyle \angle {ADC}=180-\angle {ADB}\because }$ و (Sin x = Sin (180-x. ${\displaystyle \sin {ADB}=\sin {ADC}\Leftarrow }$ ${\displaystyle {\frac {BA\sin \beta }{DB}}={\frac {AC\sin \alpha }{DC}}\Leftarrow }$ ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {BA\sin \beta }{AC\sin \alpha }}\Leftarrow }$ و إذا كانت ${\displaystyle \beta =\alpha }$ سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.

المثلث ABC

برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:

ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.

المثلث AEC يشابه المثلث AFB

( لأن E و F قائمتان و ${\displaystyle \beta =\alpha }$ لأن AD منصف A)

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {FB}{EC}}={\frac {BA}{AC}}}$

المثلث DEC يشابه المثلث DFB

( لأن E و F قائمتان و${\displaystyle \angle {EDC}=\angle {FDB}}$ للتقابل بالرأس)

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {FB}{EC}}={\frac {BD}{DC}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow {\frac {BA}{AC}}={\frac {BD}{DC}}}$

وهو المطلوب إثباته .