متباينة فايتزينبوخ

يمكن إثبات أن مساحة مثلث نابوليون الداخلي، الموجبة، هي:

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}-4{\sqrt {3}}\Delta )}$

و إذًا فالتعبير داخل الأقواس أكبر من أو يساوي 0.

هذه الطريقة لاتفترض معرفة بالمتفاوتات باسثتناء علم أن المربعات موجبة.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2},\end{aligned}}}$

و ستظهر النتيجة تلقائيا عند أخذ الجذور الموجبة لكلا الطرفين. يمكن ملاحظة أيضا من المتراجحة الأولى أن حالة المساواة تتحقق فقط عندما ${\displaystyle a=b=c}$ والمثلث متساوي الأضلاع.

هذا البرهان يفترض معرفة متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي.

${\displaystyle {\begin{aligned}&&(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}&\geq &&0\\\Rightarrow &&2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}&\geq &&2ab+2bc+2ac\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\Rightarrow &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta .\end{aligned}}}$

وبما أنه تم استعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي، فإن حالة المساواة تتحقق عندما ${\displaystyle a=b=c}$ و المثلث متساوي الأضلاع.