متجه لابلاس-رنج-لنز

جسيم مُفرد يتحرك تحت تأثير قوة مركزية محفوظة الطاقة لديها على الأقل أربع ثوابت حركة، الطاقة الكلية E، والثلاث مركبات الكارتيزية لمتجه الزخم الزاوي L بالنسبة إلى نقطة الأصل. مدار الجسيم محجوز بمستوى مُعرف بزخم الحركة الأولي للجسيم p ( أو متكافأ مع سرعته v) و متجه r بين الجسيم ومركز القوة. متجه A (متجه LRL) دائماً يقع في مستوي حركة أي قوة مركزية. لكن A ثابت فقط لتربيع العكسي للقوة المركزية.[8] لمعظم القوي المركزية، متجه A غير ثابت، لكن يتغير في الطول والإتجاه؛ إذا كانت القوة المركزية تقريباً قانون التربيع العكسي، كان متجه A ثابت الطول ولكن يدور ببطء في إتجاهه. يمكن أن يُعرف متجه A لكل القوي المركزية، لكنه دالة معقدة في المكان، وعادةً لا يمكن توضيحه في نموذج مغلق.[9][10]

مستوى الحركة عمودي علي متجه زخم زاوي L؛ هذا يكون موضحاً رياضياً متجه الجداء القياسي r·L = 0، بالمثل A·L = 0 لأن متجه A يقع في نفس المستوى.

لم يكن متجه A معروف من قِبل الفيزيائين لهذا تم إعادة اكتشافه أكثر من مرة في خلال الثلاث القون الأخيرة.[6] جاكوب هيرمان كان أول من وضح ان متجه A حُفظ نتيجة أنه حالة خاصة من التربيع العكسي للقوة المركزية.[11] عمل هيرمان تم إعادة صياغه في نموذج حديث علي يد يوهان بيرنولي عام 1710.[12] في نهاية هذا القرن إستنتج بيير لابلاس متجه A بشكل تحليلي بدلاً من شكله الهندسي.[13] في منتصف القرن التاسع عشر، وليم روان هاملتون إستنتج متجه الشذوذ المكافأ له.[7]

متجه LRL

لجسيم مُنفرد مُتأثر بقوة مركزية معادلته تكون:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ~,}$

متجه LRL تعريفه رياضياً:[8]

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }$

حيث:

• m كتلة الجسيم المُتحرك تحت قوة مركزية.
• p هو زخم الحركة.
• L = r × p هو متجه زخم زاوي.
• k هو معيار يوضح شدة القوة المركزية.
• r هو متجه المكان للجسيم.
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \!\,}$ هو متجه وحدة؛ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ حيث r هي مقدار r.

لأن القوة المفروضة هي قوة محفوظة، الطاقة الكلية E تكون ثابتة الحركة،

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}~.}$

أيضاً القوة المفروضة هي قوة مركزية، وبالتالي متجه L يصبح محفوظ أيضاً ويحدد المستوي الذي يمر به الجسيم. متجه LRL عمودي علي متجه L بسبب أن p × L و r عمودي علي L.

تحديد θ.

شكل واتجاه مدارات مسائل كبلر يمكن تحديدها عن طريقمتجه LRL كالتالي:[8]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}$

حيث θ هي الزاوية بين A , r.

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}$

بعد الترتيب تعريف المعادلة لقطع مخروطي تكون:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}$

انحراف مداري e

${\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}$

و الوتر البؤري

${\displaystyle \left|2\ell \right|={\frac {2L^{2}}{mk}}~.}$

المحور الكبير a للقطع المخروطي يكون:

${\displaystyle a\left(1\pm e^{2}\right)=\ell ={\frac {L^{2}}{mk}}~,}$

حيث قطع ناقص تكون إشارته سالِب و إشارة قطع زائد تكون موجبه.

• بوابة ميكانيكا الكم
• بوابة هندسة
• بوابة الفيزياء