مرونة خطية

في هذا النموذج والذي يكون مستقلا عن عملية اختيار الإحداثيات تكون المعادلات هي:

• معادلة الحركة، والتي تعبر عن قانون نيوتن الثاني:[1][1][1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

• معادلات الانفعال - الإزاحة:

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\,\!}$

• المعادلات الأساسية.يمثل قانون هوك سلوك المادة ويربط بين مجاهيل الإجهاد والانفعال. والمعادلة العامة لقانون هوك هي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,\!}$

حيث:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ هو موتر الإجهاد لكوشي،
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ هو تنسور الانفعال متناهي الصغر (infinitesimal strain tensor),
• ${\displaystyle \mathbf {u} }$ هو متجه الإزاحة
• ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ هو تنسور صلابة المادة (stiffness tensor),
• ${\displaystyle \mathbf {F} }$ هو قوة الجسم لكل وحدة حجم،
• ${\displaystyle \rho }$ هو الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\bullet )}$ هو معيار الانحراف(divergence operator),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}(\bullet )}$ يمثل معيار الميل و${\displaystyle (\bullet )^{T}}$ يمثل النقل،
• ${\displaystyle {\ddot {\bullet }}}$ يمثل المشتقة الثانية بالنسبة للوقت (أي التسارع).

المعادلات هي:

• معادلة الحركة:[2]

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\,\!}$

• معادلات الانفعال - الإزاحة:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})\,\!}$

• المعادلات الأساسية.و هذه المعادلة من قانون هوك:

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\!}$

حيث:

• ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,\!}$ هو تنسور كوشي للإجهاد (Cauchy stress tensor),
• ${\displaystyle F_{i}\,\!}$ هي قوة الجسم، * ${\displaystyle \rho \,\!}$ هي الكثافة أو الكتلة الحجمية (mass density),
• ${\displaystyle u_{i}\,\!}$ الإزاحة، * ${\displaystyle C_{ijkl}\,\!}$ هو تنسور الصلابة (stiffness tensor)، * ${\displaystyle \lambda ,\mu ,\nu ,\,\!}$ و${\displaystyle E\,\!}$ هي ثوابت للمادة، * ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$ هو الانفعال، * ${\displaystyle \partial _{t}\,\!}$ هي ${\displaystyle \partial /\partial t\,\!}$.

هي دراسة للمرونة الخطية في حالة التوازن، حيث ان محصلة القوى على جسم مرن تكون صفر، والإزاحة هنا ليست دالة الوقت. ومعادلة التوازن هي:

${\displaystyle \sigma _{ij,j}+F_{i}=0\,\!}$

ان الازاحات معروفة في كل مكان على حدود الجسم. وفي هذا السياق فان الإجهاد والانفعال لن تكون مجهولة حسب قانون هوك، كما هو مبين في المعادلة التالية:[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{ij}&=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}\\&=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\\end{aligned}}\,\!}$

• اختلاف التوسعات (Differentiating yields):

${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)\,\!}$

• استبدال معادلة التوازن بالتوسعات:

${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0\,\!}$

أو

${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=0\,\!}$

حيث ${\displaystyle \lambda \,\!}$ و${\displaystyle \mu \,\!}$ معايير عوجاء (Lamé parameter).

يمكن كتابة معادلة التوازن بالشكل التالي:

${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}\,\!}$

و إذا فرضنا ان القوة تساوي صفر (${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$), فستتكون لنا المعادلة التالية:

${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0\,\!}$

و إذا بسطنا المعادلة السابقة:

${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0\,\!}$

حيث نستنتج ان:

${\displaystyle u_{j,iij}=0\,\!}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0\,\!}$

• نقطة القوة في الداخل لا نهائية في الخواص الموحدة.
• اتصال جسمين مرنين معا يكون تمغنط.