مسألة هيلبرت السادسة عشر

في عام 1876م بحث العالم كارل هارنيك عن المنحنيات الجبرية في مسطح المنظور الحقيقي ووجد أن المنحنيات من الدرجة ن لا يمكن أن تكون أكثر من 

${\displaystyle {n^{2}-3n+4 \over 2}}$

وعلاوة على ذلك فقد وضّح كيفية إنشاء المنحنيات التي تبلغ القيمة العظمة، وبالتالي فهي أفضل قيمة عظمى ممكنة. المنحنيات بهذا العدد من الأجزاء تُسمّى منحنيات ميم.

أوجد هيلبرت منحنيات ميم عند الدرجة السادسة، ووجد أن الأجزاء الحادية عشر تبقى دائماً متجمّعة بطريقة مميزة. وكان تحديه لمجتمع الرياضيات هو إيجاد جميع التكوينات الممكنة لأجزاء منحنيات ميم.

ومن ناحية أخرى، فقد طلب تعميم نظرية هارنيك إلى السطوح الجبرية وإيجاد السطوح بأقصى عدد من المكوّنات.

يُعبّر عن مجالات متجهات كثيرات الحدود من الدرجة الثانية في السطح الحقيقي كنظام من المعادلات المختلفة كالآتي:

${\displaystyle {dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)}$

مجالات متجهات كثيرات الحدود هذه دُرست من قبل هنري بوانكاريه، والذي كانت لديه فكرة عن إلغاء البحث لإيجاد الحلول الدقيقة للنظام، وبدلاً من ذلك فقد حاول دراسة المزايا النوعية لمجموعة جميع الحلول.

من بين العديد من الاكتشافات، فقد وجدت أن المجموعات الحدّية لمثل هذه الحلول يجب ألا تكون نقاط محطّية، ولكن يجب أن تكون حلول دورية. وهذا النوع من الحلول سُمّيت دورة حدودية.

الجزء الثاني من مسألة هيلبرت السادسة عشر هي لتحديد القيمة العظمى لعدد الدورات الحدودية في مجالات متجهات كثيرات الحدود للدرجة ن وبشكل مشابه للجزء الأول، إيجاد مواضعها النسبية.

• 16th Hilbert problem: computation of Lyapunov quantities and limit cycles in two-dimensional dynamical systems

• بوابة رياضيات
• بوابة جبر
• بوابة نظرية الأعداد