مستوسط

المستوسط أو شبيه المتوسط أو السميديان (بالإنجليزية: Symmedian)‏ هو انعكاس أحد متوسطات المثلث[ملاحظة 1] حول منصف الزاوية[ملاحظة 2] الخارج منها هذا المتوسط. الزاوية الذي يصنعها مستوسط المثلث مع أحد ضلعيه المجاورين له تساوي الزاوية التي يصنعها المتوسط لكن من الضلع المجاور له. يُسمَّى انعكاس مستقيم مار برأس مثلثٍ حول منصف زاوية هذا الرأس «المرافق الزاوي» (بالإنجليزية: Isogonal conjugate)‏. لذا يُمكن وصف مستوسط المثلث على أنّه المرافق الزاوي لمتوسطه. تتقاطع مستوسطات المثلث في مركزٍ من مراكزه تُدعى نقطة ليموين.[1][2]

مستوسط المثلث هو

AD

.

رسم يوضح المثلث الأصلي (بالأسود) ومنصفات الزوايا (منقطة) ومستوسطات المثلث (بالأحمر). تتقاطع مستوسطات المثلث في النقطة

L

ومنصفات الزوايا في مركز الدائرة الداخلية

I

ومتوسطات المثلث في مركز ثقل المثلث

G

.

إنشاء المستوسط

يُنشئ مستوسط المثلث $\triangle ABC$ المقابل للرأس $A$ برسم مماسين للدائرة المحيطة بالمثلث في النقطتين $B,C$ ثم أخذ نقطة تقاطعهما $D$ ليكون مستوسط المثلث هو المستقيم ${\overleftrightarrow {AD}}$ . بمعنىً آخر: مستوسط المثلث هو المستقيم الواصل بين رأس مثلث وتقاطع المماسين للدائرة المحيطة عند الرأسين الآخرين.[1][2]

البرهان: باعتبار انعكاس $AD$ حول منصف الزاوية $\angle A$ ، لتكن $M'$ هي نقطة تقاطعه مع $BC$ . إذن:[2]

${\frac {BM'}{M'C}}={\frac {AM'{\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ABM'}}}}{AM'{\frac {sin\angle {CAM'}}{sin\angle {ACM'}}}}}={\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ACD}}}{\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {CAM'}}}={\frac {sin\angle {CAD}}{sin\angle {ACD}}}{\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {BAD}}}={\frac {CD}{AD}}{\frac {AD}{BD}}=1$

انظر أيضاً

ملاحظات

متوسط المثلث هو الخط الواصل بين رأس مثلث ومنتصف الضلع المقابل له.
منصف الزاوية هو مستقيم يقسم زاوية المثلث من الداخل إلى نصفين متساويين.

مراجع

صابر, طارق؛ أندريكا, دورين (1434هـ)، رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول، الرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع، مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019، اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= و|تاريخ= (مساعدة)
Yufei, Zhao (2010)، Three Lemmas in Geometry (PDF)، ص. 5، مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يناير 2017.

وصلات خارجية

بوابة هندسة رياضية
بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] متوسط المثلث هو الخط الواصل بين رأس مثلث ومنتصف الضلع المقابل له.

[2] منصف الزاوية هو مستقيم يقسم زاوية المثلث من الداخل إلى نصفين متساويين.

[:53-3] صابر, طارق؛ أندريكا, دورين (1434هـ)، رياضيَّات الأولمبياد، الهندسة، الجزء الأول، الرياض، دار الخريجي للنشر والتوزيع، مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019، اطلع عليه بتاريخ 21 سبتمبر، 2018م. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= و|تاريخ= (مساعدة)

[مولد_تلقائيا1-4] Yufei, Zhao (2010)، Three Lemmas in Geometry (PDF)، ص. 5، مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يناير 2017.