معادلة هنتر-ساكستون

في نماذج البلورات السائلة المعتبرة هنا، فأنه من المفترض بأن لا يكون هناك تدفق للسوائل، بحيث يكون توجه الجزئيات فقط هو المهم. في ضمن إطار النظرية الاستمرارية المرنة، توصف التوجه بواسطة حقل متجهات الوحدة n(x,y,z,t). وبالنسبة للبلورات السائلة الخيطية، فليس هناك فرق بين توجيه جزيء في الاتجاه n أو في الاتجاه −n, وبذلك يسمى حقل المتجه n بالحقل المدير director field. عادةً ما يُفترض كثافة الطاقة الكامنة لحقل المدير بواسطة دالية أوسين–فرانك للطاقة [2]

${\displaystyle W(\mathbf {n} ,\nabla \mathbf {n} )={\frac {1}{2}}\left(\alpha (\nabla \cdot \mathbf {n} )^{2}+\beta (\mathbf {n} \cdot (\nabla \times \mathbf {n} ))^{2}+\gamma |\mathbf {n} \times (\nabla \times \mathbf {n} )|^{2}\right),}$

حيث أن المعاملات الموجبة ${\displaystyle \alpha }$, و ${\displaystyle \beta }$, و ${\displaystyle \gamma }$ مُعرّفة بمعاملات المرونة للتباعد، وللالتواء، وللثنية، على التوالي. عاد ة ما تهمل الطاقة الحركية بسبب اللزوجة العالية للبلورات السائلة.

تحقق هنتر وساكستون[1] الحالة عندما يُتجاهل لزوجة التخامد وتكون الطاقة الحركية موجودة في النموذج. إذاً تكون المعادلات الحاكمة لديناميكا الحقل المدير هي معادلات أويلر-لاغرانج بالنسبة لللانغرانجي Lagrangian

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {\partial \mathbf {n} }{\partial t}}\right|^{2}-W(\mathbf {n} ,\nabla \mathbf {n} )-{\frac {\lambda }{2}}(1-|\mathbf {n} |^{2}),}$

حيث تكون ${\displaystyle \lambda }$ مضاعف لاغرانج منسجمة مع القيد n|=1|. كما أن اهتماماتها تقتصر على «موجات الابتعاد splay waves» حيث يأخذ الحقل المدير الشكل الخاص

${\displaystyle \mathbf {n} (x,y,z,t)=(\cos \varphi (x,t),\sin \varphi (x,t),0).}$

هذا الافتراض يقلص اللاغرانجي إلى

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{t}^{2}-a^{2}(\varphi )\varphi _{x}^{2}\right),\qquad a(\varphi )={\sqrt {\alpha \sin ^{2}\varphi +\gamma \cos ^{2}\varphi }},}$

و تصبح معادلة أويلر-لاغرانج للزاوية φ

${\displaystyle \varphi _{tt}=a(\varphi )[a(\varphi )\varphi _{x}]_{x}.}$

هناك حلول ثابتة هامشية تكون فيها φ=φ₀ منسجمة مع الحالات التي تكون فيها الجزيئات في البلورة السائلة منحازة تماماً. يؤدي الاستخطاط Linearization حول هذا التوازن إلى معادلة موجية خطية تسمح بنشر الموجات في كلا الاتجاهين بسرعة مقدارها ${\displaystyle a_{0}=a(\varphi _{0})}$, وبذلك يمكن التوقع بالمعادلة اللاخطية للتصرف المماثل. لدراسة الموجات ذات الحركة-اليمينية بالنسبة للمتغير t الكبير، فيحب إلقاء نظرة على الحلول التقريبية للشكل

${\displaystyle \varphi (x,t;\epsilon )=\varphi _{0}+\epsilon \varphi _{1}(\theta ,\tau )+O(\epsilon ^{2}),}$

حيث تكون

${\displaystyle \theta =x-a_{0}t,\qquad \tau =\epsilon t.}$

وبإدخال هذا إلى المعادلة، يجد المرء عند الرتبة ${\displaystyle \epsilon ^{2}}$ بأنها

${\displaystyle (\varphi _{1\tau }+a'(\varphi _{0})\varphi _{1}\varphi _{1\theta })_{\theta }={\frac {1}{2}}a'(\varphi _{0})\varphi _{1\theta }^{2}.}$

إن إعادة تسمية أو إعادة قياس بسيطة للمتغيرات (على افتراض أن ${\displaystyle a'(\varphi _{0})\neq 0}$) ستحول هذه المعادلة إلى معادلة هنتر-ساكستون.

إن قابلية التكامل لمعادلة هنتر-ساكستون، أو، وبعبارة أدق، لمشتقاتها x

${\displaystyle (u_{t}+uu_{x})_{xx}=u_{x}u_{xx},}$

عُرضت من قبل هنتر وتشنغ Zheng,[5] الذان أدعا بأن هذه المعادلة مستوحاة من معادلة كاماسا-هولم Camassa–Holm equation

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+3uu_{x}=2u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$

في «حد التردد العالي»

${\displaystyle (x,t)\mapsto (\epsilon x,\epsilon t),\qquad \epsilon \to 0.}$

بتطبيق هذا الجراء المحدد للاغرانجي معادلة كاماسا-هولم، فسيتم الحصول على اللاغرانجي

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {1}{2}}u_{x}^{2}+w(v_{t}+uv_{x})}$

التي تنتج معادلة هنتر-ساكستون بعد حذف v و w من معادلات أويلر-لاغرانج بسبب u, و v, و w. بما أن هناك أيضاً لاغرانجي أكثر وضوحاً

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=u_{x}u_{t}+uu_{x}^{2},}$

فتكون لمعادلة هنتر-ساكستون بنيتين تباينية غير-متكافئة. كما حصل هنتر وتشينغ أيضاً على الصياغة الثنائية-الهاميلتونية bihamiltonian formulation وعلى زوج لاكس من بنى الانسجام لمعادلة كاماسا-هولم بنفس الطريقة.

إن حقيقة في أن معادلة هنتر-ساكستون نشأت فيزيائياً بطريقتين مختلفتين (كما هو مبين أعلاه) كانت قد استعملت بواسطة علي وهنتر[3] لتفسير لماذا لديها هذه البنية ثنائية-التباينية (أو ثنائية-الهاميلتونية).

• بوابة الفيزياء