نصف قطر التقارب

من أبسط الأمثلة هو نصف قطر تقارب متسلسلة القوى للدالة الأسية:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

نحسب نصف قطر التقارب:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(n+1)!}}\right|\div \left|{\frac {1}{n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {n!}{(n+1)n!}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{n+1}}\right|\\&=0\end{aligned}}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو ${\displaystyle \infty }$.

• نعتبر متسلسلة ماكلورين للدالة ${\displaystyle \ln(1+x)}$:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$

نحسب نصف قطر تقاربه:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\div \left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {n}{(-1)^{n-1}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\right|\times \left|{\frac {-n}{(-1)^{n}}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {-n}{n+1}}\right|\\&=1\end{aligned}}}$

إذن نصف قطر تقارب المتسلسلة هو ${\displaystyle r=1}$.

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي