نظرية القشرة الكروية

هناك ثلاث خطوات لإثبات نظرية نيوتن القشرية. أولًا، نشتق معادلة الحقل الثقالي (أو حقل الجاذبية) لحلقة مادية (ذات كتلة). ثانيًا، بترتيب عدد لا نهائي من الحلقات لا متناهية الرقة لصنع قرص، تُستخدم تلك المعادلة المطبقة على حلقة لدراسة الحقل الثقالي لقرص. أخيرًا، بترتيب عددٍ لا منتهٍ من الأقراص لا متناهية الرقة لصنع كرة، تُستخدم تلك المعادلة المطبقة على قرص لإيجاد حقل الجاذبية الناتج عن كرة.

يعطى الحقل الثقالي في نقطة تدعى ${\displaystyle P}$ عند ${\displaystyle (x,y)=(-p,0)}$ على محور السينات ${\displaystyle x}$ الناتج عن نقطة مادية ${\displaystyle M}$ في مركز الإحداثيات بالعلاقة:

${\displaystyle E_{point}={\frac {GM}{p^{2}}}}$

نفترض تحرك هذه الكتلة إلى الأعلى على محور العينات ${\displaystyle y}$ إلى نقطة ${\displaystyle (0,R)}$. المسافة بين ${\displaystyle P}$ والنقطة المادية أصبحت الآن أكبر مما سبق؛ إذ تصبح بطول وتر المثلث ذي الضلعين ${\displaystyle P}$ و ${\displaystyle R}$ والذي يساوي ${\displaystyle sqrt(p^{2}+R^{2})}$

${\displaystyle E_{elevatedpoint}={\frac {GM}{(p^{2}+R^{2})}}}$

تساوي شدة الحقل الثقالي الذي يمكنه سحب جسيم عند النقطة ${\displaystyle P}$ باتجاه ${\displaystyle x}$ إلى حقل الجاذبية مضروبًا بـ ${\displaystyle cos{\theta }}$ حيث ${\displaystyle \theta }$ زاوية مجاورة لمحور السينات ${\displaystyle x}$. في هذه الحالة، ${\displaystyle cos(theta)=p/sqrt(p^{2}+R^{2})}$.

${\displaystyle E_{x}={\frac {GM\cos {\theta }}{p^{2}+R^{2}}}}$

وتكتب بشكل أبسط:

${\displaystyle E_{x}={\frac {GMp}{(p^{2}+R^{2})^{3/2}}}}$

لنفترض أن هذه الكتلة موزعة بانتظام على حلقة مركزها مركز الإحداثيات وتقابل النقطة ${\displaystyle P}$ بنفس نصف القطر ${\displaystyle R}$. لأن كل الكتلة تقع على نفس الزاوية بالنسبة لمحور السينات ${\displaystyle x}$، والمسافة بين النقاط الواقعة على الحلقة نفسها المسافة السابقة؛ الحقل الثقالي للحلقة باتجاه ${\displaystyle x}$ عند نقطة ${\displaystyle P}$ يساوي الحقل الناتج عن نقطة مادية تقع في نقطة ${\displaystyle R}$ فوق محور العينات ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle E_{ring}={\frac {GMp}{(p^{2}+R^{2})^{3/2}}}}$

لإيجاد الحقل الثقالي لقرص عند نقطة ${\displaystyle P}$، يمكن وضع عدد غير منتهٍ من الحلقات لا متناهية الرقة مقابل النقطة ${\displaystyle P}$، كلًّا بنصف قطر ${\displaystyle y}$، وعرض ${\displaystyle dy}$، وكتلة ${\displaystyle dM}$ داخل بعضها البعض لتشكيل قرص. كتلة أي من الحلقات ${\displaystyle dM}$ هي كتلة القرص مضروبةً بنسبة مساحة الحلقة ${\displaystyle 2*pi*y*dy}$ إلى المساحة الكلية للقرص ${\displaystyle pi*R^{2}}$، إذن: ${\displaystyle dM=M*2*y*dy/R^{2}}$.

${\displaystyle dE={\frac {Gp*dM}{(p^{2}+y^{2})^{3/2}}}}$

${\displaystyle \int dE=\int {\frac {{\frac {2GM}{R^{2}}}*p*y*dy}{(p^{2}+y^{2})^{(}3/2)}}}$

بجمع الآثار الجزئية لكل هذه الحلقات في الحقل الثقالي تنتج علاقة الحقل الثقالي لقرص. يكافئ هذا مكاملة العلاقة السابقة من ${\displaystyle y=0}$ إلى ${\displaystyle y=R}$، والنتيجة:

${\displaystyle E_{disc}={\frac {2GM}{R^{2}}}*(1-{\frac {p}{sqrt(p^{2}+R^{2})}})}$

لإيجاد الحقل الثقالي لكرة مركزها مركز الإحداثيات عند نقطة ${\displaystyle P}$، يمكن وضع عدد غير منتهٍ من الأقراص لا متناهية الرقة المقابلة للنقطة ${\displaystyle P}$، كل بنصف قطر ${\displaystyle R}$، وعرض ${\displaystyle dx}$ وكتلة ${\displaystyle dM}$ مع بعضها البعض.

تتبع أنصاف أقطار هذه الأقراص ${\displaystyle R}$ لارتفاع المقطع العرضي من كرة (ذات نصف قطر ثابت ${\displaystyle a}$)، وهي معادلة نصف دائرة: ${\displaystyle R=sqrt(a^{2}-x^{2})}$. تتراوح قيمة ${\displaystyle x}$ بين ${\displaystyle -a}$ و${\displaystyle a}$.

كتلة أي من الأقراص ${\displaystyle dM}$هي كتلة الكرة ${\displaystyle M}$ مضروبةً بنسبة حجم قرص لا منتهي الرقة إلى حجم كرة (ذات نصف قطر ثابت ${\displaystyle a}$). حجم القرص لا متناهي الرقة هو ${\displaystyle pi*R^{2}*dx}$ أو ${\displaystyle pi*(a^{2}-x^{2})*dx}$. إذن: ${\displaystyle dM=M*pi*(a^{2}-x^{2})*dx/((4/3)*pi*a^{3})}$. وبالتبسيط: ${\displaystyle dM=M*3*(R^{2}-x^{2})*dx/(4*a^{3})}$. تتراوح ${\displaystyle x}$ بين ${\displaystyle -a}$ و${\displaystyle a}$.

يتغير بُعد كل قرص عن النقطة ${\displaystyle P}$ مع موقعه ضمن «الكرة» المكونة من الأقراص. لذا تجب الاستعاضة عن ${\displaystyle p}$ بـ ${\displaystyle p+x}$. تتراوح ${\displaystyle x}$ بين ${\displaystyle -a}$ و${\displaystyle a}$.

بالاستعاضة عن ${\displaystyle M}$ بـ ${\displaystyle dM}$، وعن ${\displaystyle R}$ بـ ${\displaystyle sqrt(a^{2}-x^{2})}$، وعن ${\displaystyle p}$ بـ ${\displaystyle p+x}$ في معادلة «القرص» ينتج:

${\displaystyle dE={\frac {\frac {2G*(3M*(a^{2}-x^{2}))}{4a^{3}}}{sqrt(a^{2}-x^{2})^{2}}}*(1-{\frac {p+x}{sqrt((p+x)^{2}+sqrt(a^{2}-x^{2})^{2}))}}dx}$

بالتبسيط:

${\displaystyle \int dE=\int _{-a}^{a}{\frac {3GM}{2a^{3}}}*(1-{\frac {p+x}{sqrt(p^{2}+a^{2}+2px)}})dx}$

بمكاملة الحقل الناتج عن كل قرص رقيق من ${\displaystyle x=-a}$ إلى ${\displaystyle x=+a}$ بالنسبة لـ ${\displaystyle x}$، وبعد حسابات جبرية دقيقة، تنتج نظرية نيوتن القشرية بشكل جميل.

${\displaystyle E=G*M/p^{2}}$ حيث ${\displaystyle p}$ هي المسافة بين مركز الكتلة الكروية ونقطة ما ${\displaystyle P}$. يمكن حساب الحقل الثقالي الناتج عن كتلة كروية باعتبار كل الكتلة جسيمًا نقطيًّا يقع في مركز الكرة.

يمكن نمذجة جسم صلب متناظر كرويًّا على أنه عدد غير منته من القشور الكروية متحدة المركز ومتناهية الرقة. إذا أمكن اعتبار إحدى هذه القشور على أنها نقطة مادية، يمكن اعتبار مجموعة قشور (أي الكرة) أيضًا كنقطةً ماديةً. لنأخذ قشرة كهذه (يُظهر الشكل مقطعًا عرضيًّا):

(ملاحظة: dθ الظاهرة في الشكل تعبر عن زاوية صغيرة، وليس طول القوس. طول القوس هو R dθ).

بتطبيق قانون الجذب العام لنيوتن، مجموع القوى الناتجة عن العناصر التفاضلية الكتلية في الجزء المظلل:

${\displaystyle dF={\frac {Gm\;dM}{s^{2}}}.}$

لكن، بسبب وجود إلغاء جزئي ناتج عن الطبيعة الشعاعية للقوة مع التناظر الدائري للمقطع الطولي المظلل، تعطى المركبة الشعاعية المتبقية (باتجاه ${\displaystyle m}$) بالعلاقة:

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm\;dM}{s^{2}}}\cos \phi .}$

القوة الكلية المؤثرة على ${\displaystyle m}$، إذن، هي ببساطة مجموع القوة المطبقة من قبل كل المقاطع الطولية المكونة للدائرة. بتقليص عرض كل مقطع طولي، وزيادة عدد المقاطع، يمكن التعبير عن المجموع بالعلاقة التكاملية:

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}}$

بما أن ${\displaystyle G}$ و${\displaystyle m}$ ثوابت، يمكن إخراجهما من التكامل:

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {dM\cos \phi }{s^{2}}}.}$

لحساب قيمة هذا التكامل، يجب أولًا إيجاد علاقة ${\displaystyle dM}$ كتابع لـ${\displaystyle d\theta }$.

السطح الكلي للقشرة الكروية:

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

بينما مساحة سطح الشريحة الرقيقة بين ${\displaystyle \theta }$ و${\displaystyle \theta +d\theta }$:

${\displaystyle 2\pi R^{2}\sin \theta \,d\theta }$

إذا كانت كتلة القشرة ${\displaystyle M}$، يكون عندها:

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin \theta }{4\pi R^{2}}}M\,d\theta =\textstyle {\frac {1}{2}}M\sin \theta \,d\theta }$

و

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}\,d\theta }$

بقانون التجيبات (جيب التمام):

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

هاتان العلاقتان تربطان بين البارامترات الثلاث: ${\displaystyle \theta }$ و ϕ و s التي تظهر معًا في التكامل. عند تزايد ${\displaystyle \theta }$ من 0 إلى ${\displaystyle \pi }$ راديان، ϕ تتغير من القيمة الابتدائية 0 إلى قيمة أعظمية حتى تعود بالنهاية للصفر عند ${\displaystyle \theta =\pi }$. أمّا s فتتزايد من قيمتها الابتدائية ${\displaystyle r-R}$ حتى القيمة النهائية ${\displaystyle r+R}$ عند تزايد ${\displaystyle \theta }$ من 0 حتى ${\displaystyle \pi }$ راديان. ويتوضح هذا بالرسم المتحرك الآتي:

لإيجاد التابع الأصلي للتكامل، علينا جعل s المتغير المستقل للتكامل بدلًا من ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta \;d\theta ={\frac {s}{rR}}ds.}$

نحصل على:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos \phi }{s}}\,ds}$

إذ يتزايد المتغير الجديد للتكامل s من ${\displaystyle r-R}$ إلى ${\displaystyle r+R}$.

بإدخال علاقة ##رمز## باستخدام أولى علاقات «قانون جيب التمام» أعلاه، نحصل على:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\,ds.}$

ما يدل على أن قوة الجذب نفسها تلك الناتجة عن النقطة المادية في مركز القشرة ذات الكتلة نفسها.

أخيرًا، بمكاملة كل القشور الكروية متناهية الرقة ذات الكتلة ${\displaystyle dM}$، يمكننا الحصول على الأثر الكلي لكرة صلبة على جذب جسم خارجها.

${\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}$

يمكن التعبير عن ${\displaystyle dM}$ كتابع لـ ${\displaystyle x}$، بين نصفي القطرين ${\displaystyle x}$ و${\displaystyle x+dx}$ أي:

${\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}$

بالتالي، تكون الجاذبية الكلية:

${\displaystyle F_{total}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

ما يدل على إمكانية اعتبار جاذبية جسم كروي مصمت لجسم خارجي على أنها نفسها جاذبية نقطة مادية في مركز الكرة ذات الكتلة نفسها للتبسيط.

الفرق، في حالة نقطة داخل قشرة، أنه عندما تكون ${\displaystyle \theta }$ تساوي الصفر، تأخذ ϕ قيمة ${\displaystyle \pi }$ راديان وs قيمة ${\displaystyle R-r}$. عند تزايد ${\displaystyle \theta }$ من 0 إلى ${\displaystyle \pi }$ راديان، تتناقص ϕ من القيمة الابتدائية ${\displaystyle \pi }$ راديان إلى الصفر وتتزايد s من القيمة الابتدائية ${\displaystyle R-r}$ إلى القيمة ${\displaystyle R+r}$، كما يتضح من الشكل الآتي:

بإدخال هذه الشروط الحدية إلى التابع الأصلي نحصل على:

${\displaystyle s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}}$

ونحصل في هذه الحالة على:

${\displaystyle F_{r}=0}$

ما يعني أن قوى الجذب الصافي المؤثرة على النقطة المادية من الكتل العنصرية للقشرة، خارج نقطة القياس، تلغي بعضها بعضًا.

تعميم: إذا كان ${\displaystyle f=k/r^{p}}$، تكون القوة المحصلة داخل القشرة:

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

ينتج عن هذا أن ${\displaystyle F(r)}$ تساوي الصفر تمامًا إذا وفقط إذا كانت ${\displaystyle p=2}$ خارج القشرة (أي ${\displaystyle r>R}$ أو ${\displaystyle r<-R}$):

${\displaystyle F(r)={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)\,ds}$

نظرية القشرة الكروية هي نتيجة مباشرة لقانون غاوس للجاذبية الذي ينص على أن:

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=-4\pi GM}$

حيث ${\displaystyle M}$ هي كتلة الجزء من التوزع الكتلي المتناظر كرويًّا الواقع داخل الكرة ذات نصف القطر ${\displaystyle r}$

و${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {g} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int _{S}{\mathbf {g} }\cdot {\mathbf {\hat {n}} }\,dS}$ هو التكامل السطحي للحقل الثقالي g على أي سطح مغلق تكون الكتلة الإجمالية ضمنه مساويةً ${\displaystyle M}$، حيث شعاع الواحدة ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ هو الناظم الخارجي على السطح.

يجب على الحقل الثقالي لتوزع كتلي متناظر كرويًّا، كذلك الناتج عن نقطة مادية أو قشرة كروية أو كرة متجانسة أيضًا أن يكون متناظرًا كرويًّا. إذا كان ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ شعاعًا واحديًّا يتجه من مركز التناظر إلى نقطة أخرى في الحقل الثقالي، يجب بالتالي أن يوجد في هذه النقطة:

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r)\mathbf {\hat {n}} }$

حيث تعتمد قيمة ${\displaystyle g(r)}$ فقط على البعد ${\displaystyle r}$ عن مركز التناظر.

باختيار السطح المغلق كرة نصف قطرها ${\displaystyle r}$ مركزها مركز التناظر، يكون الناظم الخارجي على السطح، ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$، متجهًا بالضبط من مركز التناظر باتجاه التوزع الكتلي.

نحصل بالتالي على:

${\displaystyle \mathbf {g} =g(r)\mathbf {\hat {n}} }$

و

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {g} \cdot \,d{\mathbf {S} }=g(r)\int _{S}\,d{S}=g(r)4\pi r^{2}}$

بما أن مساحة سطح الكرة ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$.

ينتج من قانون غاوس:

${\displaystyle g(r)4\pi r^{2}=-4\pi GM}$

أي أن:

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM}{r^{2}}}.}$

• بوابة الفيزياء
• بوابة رياضيات