Árbol kd

Dado que hay muchas maneras posibles de elegir planos alineados a los ejes, hay muchas maneras de generar árboles kd. El sistema habitual es:

• Conforme se desciende en el árbol, se emplean ciclos a través de los ejes para seleccionar los planos. (Por ejemplo, la raíz puede tener un plano alineado con el eje x, sus descendientes tendrían planos alineados con el y y los nietos de la raíz alineados con el z, y así sucesivamente)

• En cada paso, el punto seleccionado para crear el plano de corte será la mediana de los puntos puestos en el árbol kd, lo que respeta sus coordenadas en el eje que está siendo usado.

Este método lleva a un árbol kd balanceado, donde cada nodo hoja está a la misma distancia de la raíz. De todas formas, los árboles balanceados no son necesariamente óptimos para todas las aplicaciones.

Dada una lista de n puntos, el siguiente algoritmo genera un árbol kd balanceado que contiene dichos puntos.

function kdtree (list of points pointList, int depth)
{
    if pointList is empty
        return nil;
    else
    {
        // Select axis based on depth so that axis cycles through all valid values
        var int axis := depth mod k;

        // Sort point list and choose median as pivot element
        sort pointList using predicate: point1[axis] < point2[axis];
        choose median from pointList;

        // Create node and construct subtrees
        var tree_node node;
        node.location := median;
        node.leftChild := kdtree(points in pointList before median, depth+1);
        node.rightChild := kdtree(points in pointList after median, depth+1);
        return node;
    }
}

Este algoritmo implementado en Python sería:

class Node:pass

def kdtree(pointList, depth=0):
    if not pointList:
        return

    # Select axis based on depth so that axis cycles through all valid values
    k = len(pointList[0]) # assumes all points have the same dimension
    axis = depth % k

    # Sort point list and choose median as pivot element
    pointList.sort(key=lambda x:x[axis])
    median = len(pointList)/2 # choose median

    # Create node and construct subtrees
    node = Node()
    node.location = pointList[median]
    node.leftChild = kdtree(pointList[0:median], depth+1)
    node.rightChild = kdtree(pointList[median+1:], depth+1)
    return node

Un ejemplo de uso:

pointList = [(2,3),(5,4),(9,1),(4,7),(8,1)]
tree = kdtree(pointList)

Este algoritmo crea el invariante para cualquier nodo. Todos los nodos en el subárbol de la izquierda están en un lado del plano de corte, y todos los nodos del subárbol de la derecha están en el otro lado. El plano de corte de un nodo pasa a través del punto asociado con ese nodo (referenciado en el código por node.location)

Los nodos se añaden a un árbol kd de la misma forma que se añaden a cualquier otro árbol. Primero, se recorre el árbol empezando por la raíz y siguiendo por el nodo de la izquierda o de la derecha dependiendo de si el punto que se quiere insertar está en la derecha o en la izquierda del plano de corte. Una vez que se llega a un nodo hoja, se añade el nuevo punto a la izquierda o a la derecha del nodo hoja, de nuevo dependiendo de en que lado del plano se encuentra el nuevo punto.

Eliminar un punto de un árbol kd sin romper el invariante. (POR HACER)

Hay que ser cuidadoso al equilibrar un árbol kd. Como estos árboles están ordenados en múltiples dimensiones, no se puede emplear la técnica de rotación de árboles para equilibrarlos — esto rompería el invariante.

Usar un árbol kd para encontrar todos los puntos que se encuentran en un rectángulo determinado (o análogo de más dimensiones). Esta operación también se denomina rango de búsqueda ortogonal.

En las regresiones locales es común evaluar la superficie contenida directamente solo por los vértices del árbol kd e interpolar en algún punto. Este uso, reflejado en la imagen de arriba, busca asegurar que sólo se realizarán las evaluaciones directas necesarias. Como los árboles kd se "adaptan" al espacio, este método puede suministrar una excelente aproximación a las verdaderas superficies de regresión local. Si la aproximación es pobre, puede mejorarse con más subdivisiones.