Ley A

Para una entrada ${\displaystyle x}$ determinada, la ecuación para la codificación según la Ley A es:

${\displaystyle F(x)=\operatorname {sgn}(x){\begin{cases}{\displaystyle {A|x| \over 1+\ln(A)}}&{\mbox{si}}\,\displaystyle |x|<{1 \over A}\\\displaystyle {\frac {1+\ln(A|x|)}{1+\ln(A)}}&{\mbox{si}}\,\displaystyle {1 \over A}\leq |x|\leq 1\end{cases}}}$

en la cual:

${\displaystyle A=87.6}$: Parámetro de compresión según la Recomendación G. 711, usado en los sistemas TDM/PCM bajo la Recomendación G. 732.

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$: es la función signo.

Si A = 1, la entrada es igual a la salida.

La función inversa es la siguiente:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\operatorname {sgn}(y){\begin{cases}\displaystyle {|y|(1+\ln(A)) \over A},&{\mbox{si}}\,\displaystyle |y|<{1 \over 1+\ln(A)}\\\displaystyle {\exp(|y|(1+\ln(A))-1) \over A}&{\mbox{si}}\,\displaystyle {1 \over 1+\ln(A)}\leq |y|<1\end{cases}}}$

en la cual ${\displaystyle \exp()}$ es la función exponencial.

La Ley A, en su forma cuantificada digital está definida en la Recomendación G.711. El comportamiento de la cuantificación se aproxima al de la codificación analógica mediante 14 segmentos rectilíneos (7 para señales positivas y 7 para negativas), pero como los segmentos que pasan por el origen son colineales, éstos se consideran uno solo.[2] Los segmentos se denominan ±0, ±1 hasta ±6. Digitalmente, es aplicada una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, en la cual existen pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. El algoritmo, en su versión digital, es un sistema de compresión con pérdidas en comparación con la codificación lineal normal. Esto significa que al recuperar la señal, ésta no será exactamente igual a la original. La codificación de Ley-A toma los 13 bits (o 16 bits convertidos a 13) de las muestras de las señales de audio y las comprime a un valor de 8 bits, así:[3]

donde S es el bit de signo (0=positivo y 1=negativo) el cual pasa directamente al código comprimido y "ABCD" corresponde a los bits de datos .Por ejemplo, 1000000010101111 es convertido en 10001010 (de acuerdo a la primera fila de la tabla), y 0000000110101111 es convertido en 00011010 (de acuerdo a la segunda fila). Esto puede ser visto como un número en notación de punto flotante con 4 bits de mantisa y 3 bits de exponente. Durante la compresión, como se observa en la tabla, se descartan los bits menos significativos de las señales grandes. La cantidad de estos bits representa cada uno de los segmentos en que se divide por tramos la curva ${\displaystyle F(x)}$. Cada segmento es representado por tres bits, los cuales pasan al código comprimido después del bit de signo "S".

Adicionalmente, la Recomendación G.711 especifica que los bits pares resultantes deben ser invertidos antes de enviar el octeto de bits, lo que sirve para aumentar la densidad de transiciones y facilitar el proceso de recuperación de la señal de reloj del sistema en el receptor PCM. La inversión del código comprimido se lleva a cabo sometiéndolo a la operación o exclusiva con el valor hexadecimal 0x55 (equivalente al valor binario 0b10101010). La decodificación del patrón comprimido consiste en invertir los pasos anteriormente descritos obteniéndose esta segunda tabla:

El rango dinámico (RD) de la Ley A es la relación en decibelios de la mayor amplitud cuantificable y de la amplitud más pequeña que ocupa el primer segmento de la curva ${\displaystyle F(x)}$. Como la magnitud se expresa con un número de 12 bits y equivale al número 4096 (${\displaystyle 2^{12}}$) y el valor mínimo de cuantificación del primer segmento es de 15, entonces el rango dinámico (RD) se calcula así:[4]

${\displaystyle {\mbox{RD}}=20\log {{\Bigl (}{\frac {4096}{15}}{\Bigr )}}=48.7\,{\mbox{dB}}}$

que es ligeramente mayor que el calculado para la Ley Mu.