Disyunción exclusiva

Podemos definir la disyunción exclusiva: ${\displaystyle \nleftrightarrow }$, a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\nleftrightarrow$ :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=a\nleftrightarrow b\end{array}}}

Una disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes y es falsa si las dos frases son ambas verdaderas o ambas falsas.

La tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es esta

a	b	${\displaystyle a\nleftrightarrow b}$
F	F	F
V	F	V
F	V	V
V	V	F

La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay "información adicional",[1] que "del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera",[2] es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen.[1]

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

• Negación de la bicondicional ${\displaystyle \neg (A\leftrightarrow B)}$[3]
• ${\displaystyle (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B)}$
• ${\displaystyle (A\vee B)\wedge (\neg A\vee \neg B)}$
• ${\displaystyle (A\wedge \neg B)\vee (\neg A\wedge B)}$.

La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es baja, "porque deja formular pocas relaciones."[4] Sin embargo, en el Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

La disyunción exclusiva ${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$ puede ser expresada en términos de conjunción lógica (${\displaystyle \wedge }$), disyunción lógica (${\displaystyle \lor }$), y negación (${\displaystyle \lnot }$) de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

La disyunción exclusiva ${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$ puede ser expresada de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}$

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador ${\displaystyle \lnot }$ y un número reducido de operadores ${\displaystyle \wedge }$ y ${\displaystyle \lor }$. La prueba de esta identidad es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}$

A veces es útil escribir ${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$ de las siguientes formas:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional: ${\displaystyle A\wedge (B\nleftrightarrow C)=(A\wedge B)\nleftrightarrow (A\wedge C)}$