Algoritmo de Gauss-Legendre

1. Establecimiento del valor inicial:

${\displaystyle a_{0}=1\qquad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\qquad t_{0}={\frac {1}{4}}\qquad p_{0}=1}$

2. Repetir las siguientes instrucciones hasta que la diferencia entre ${\displaystyle a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{n}}$ se encuentre dentro de la precisión deseada:

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\,}$

${\displaystyle y_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\,}$

${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-x_{n+1})^{2}\,}$

${\displaystyle a_{n+1}=x_{n+1}\,}$

${\displaystyle b_{n+1}=y_{n+1}\,}$

${\displaystyle p_{n+1}=2p_{n}\,}$

3. π se aproxima usando ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ y ${\displaystyle t_{n}}$ como:

${\displaystyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}\,}$

Las primeras tres iteraciones dan:

${\displaystyle 3.140...}$

${\displaystyle 3.14159264...}$

${\displaystyle 3.14159265358979...}$

El algoritmo tiene naturaleza convergente de segundo orden, que esencialmente significa que el número de dígitos correctos se duplica con cada paso del algoritmo.

• Algoritmo de Borwein
• Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe

• Weisstein, Eric W. «Pi Formulas». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.