Algoritmo de Borwein

Se procede de la siguiente forma:

• Se comienza con los valores

  ${\displaystyle a_{0}=6-4{\sqrt {2}}}$

  ${\displaystyle y_{0}={\sqrt {2}}-1}$

• Después se itera con las siguientes fórmulas

  ${\displaystyle y_{k+1}={\frac {1-(1-y_{k}^{4})^{1/4}}{1+(1-y_{k}^{4})^{1/4}}}}$

  ${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}(1+y_{k+1})^{4}-2^{2k+3}y_{k+1}(1+y_{k+1}+y_{k+1}^{2})}$

Se tiene que a_k posee una convergencia cuártica 1/π; es decir, en cada iteración se multiplica por cuatro, aproximadamente, el número de dígitos correcto.

El grado de convergencia se obtiene de la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\pi }}-a_{n}\right|<=16\;(4^{n})(e^{-2\pi 4^{n}})}$

• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe

• Weisstein, Eric W. «Pi Formulas». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.