Serie (matemática)

Una serie infinita o simplemente una serie es una suma infinita, representada por una expresión infinita de la forma[2]

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots ,}$

donde ${\displaystyle (a_{n})}$ es cualquier secuencia ordenada de términos, como números, funciones, o cualquier otra cosa que se pueda añadir (un grupo abeliano). Es una expresión que se obtiene a partir de la lista de términos ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ colocándolos uno al lado del otro, y uniéndolos con el símbolo "+". Una serie también puede representarse utilizando notación de suma, como por ejemplo

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Si un grupo abeliano A de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si es un espacio métrico), entonces algunas series, las series convergentes, pueden interpretarse como si tuvieran un valor en A, llamado la suma de las series. Esto incluye los casos comunes de cálculo, en los que el grupo es el campo de números reales o el campo de números complejos. Dada una serie

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$, su suma parcial de k-ésimo es[1]

${\displaystyle s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}.}$

Por definición, la serie ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ converge al límite L (o simplemente suma a L), si la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite L.[2] En este caso, se suele escribir

${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Se dice que una serie es convergente si converge a algún límite, o divergente cuando no lo hace. El valor de este límite, si existe, es entonces el valor de la serie.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

• Una serie geométrica es la serie de una sucesión geométrica: aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante ${\displaystyle r}$, llamada razón de la sucesión. Por ejemplo, para una razón ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$:

${\displaystyle S=1+{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{8}}+{\cfrac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\cfrac {1}{2^{n}}}}$

En general, una serie geométrica es convergente si y solo si ${\displaystyle |r|<1}$ y en tal caso, la serie converge a

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}}$

• La serie armónica es la serie

${\displaystyle S=1+{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{3}}+{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {1}{n}}}$

La serie armónica es divergente.

• Una generalización de la serie armónica son las p-series:

${\displaystyle S=1+{\cfrac {1}{2^{p}}}+{\cfrac {1}{3^{p}}}+{\cfrac {1}{4^{p}}}+{\cfrac {1}{5^{p}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\cfrac {1}{n^{p}}}}$

para cualquier número real ${\displaystyle p}$. Una p-serie es convergente si ${\displaystyle p>1}$ y diverge en otro caso. El caso límite ${\displaystyle p=1}$ es precisamente la serie armónica, que diverge.

• Una serie alternada es una serie donde cada término cambia de signo respecto del anterior:

${\displaystyle S=1-{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1}{3}}-{\cfrac {1}{4}}+{\cfrac {1}{5}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\cfrac {1}{n}}}$

• Una serie telescópica es la suma ${\displaystyle \textstyle \sum a_{n}}$, donde ${\displaystyle a_{n}=b_{n}-b_{n+1}}$, es decir

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

${\displaystyle S_{N}=(b_{0}-b_{1})+(b_{1}-b_{2})+\cdots +(b_{N-1}-b_{N})+(b_{N}-b_{N+1})=b_{0}-b_{N+1}}$

Por lo que

${\displaystyle S=\lim _{N\to \infty }(b_{0}-b_{N+1})=b_{0}-\lim _{N\to \infty }b_{N}.}$

• Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

${\displaystyle S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\quad {\text{con}}\quad {\cfrac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\cfrac {P(n)}{Q(n)}}}$

donde ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ son polinomios en ${\displaystyle n}$.

• Para los números reales, su representación decimal puede expresarse como una serie. Por ejemplo, el número con expansión periódica

${\displaystyle 0.1111\dots }$

se puede expresar mediante la serie

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

Dado que estas series siempre convergen en los números reales, no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, ${\displaystyle 0,111...={\frac {1}{9}}}$; ${\displaystyle 1=0,9999...}$ (véase la entrada «0,9 periódico»).

Se puede demostrar que la serie ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ es convergente si y solo si

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }a_{n+1}+\cdots +a_{m}=0,}$

resultado de que la sucesión de sumas parciales es convergente si y solo si es una sucesión de Cauchy (en un espacio completo). Si todos los términos ${\displaystyle a_{n}}$ son cero a partir de cierto ${\displaystyle N}$, entonces se cumple la condición anterior, y de hecho la serie se puede identificar con una suma finita. En el caso general, cuando existen infinitos términos no nulos, este resultado no tiene especial utilidad en la práctica. No obstante sí que proporciona una condición necesaria para que una serie sea convergente[6]:

Existen diversos criterios para determinar si una serie es convergente. Varios de ellos se basan en determinar como de rápido tienden a cero los términos de la sucesión que se suma. De esta clase son el criterio del cociente (o de d'Alembert), el Criterio de la raíz (o de Cauchy) y el criterio de Raabe. Otros métodos se basan en comparar la serie con otra de la que se conozca su convergencia. De este género son el método de la mayorante (o de la M) y el método del paso al límite del cociente.

Se conocen resultados concretos cuando los términos de la sucesión cumplen alguna condición. Por ejemplo, si la serie es alternante, el criterio de Leibniz dictamina que la serie converge si y solo si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0\quad {\mbox{y}}\quad |a_{n}|\ {\mbox{es monótona decreciente.}}}$

Comparación de la serie armónica con la cota inferior dada por la integral en el intervalo ${\displaystyle [1,\infty }$).

Para el caso de que todos los términos sean no negativos, la serie converge si y solo si la sucesión de sumas parciales es acotada[7]. Para este tipo de series se puede emplear el criterio de la integral: si el término general viene dado por ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$, siendo ${\displaystyle f(n)}$ una función real monótona, decreciente y no negativa, entonces el valor de la serie está acotado inferior y superiormente por las siguientes integrales impropias:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)dx\ <\ \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\ <f(1)+\int _{2}^{\infty }f(x-1)dx.}$

En particular, la serie tiene el mismo carácter (convergente o divergente) que la integral del lado izquierdo de la desigualdad. Por ejemplo, en el caso de la serie armónica, donde ${\displaystyle a_{n}=1/n}$, la convergencia de la serie depende de la convergencia de la integral

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}={\Big [}\log x{\Big ]}_{1}^{\infty }\to \infty }$

por lo que la serie armónica es divergente.

Es posible definir la suma de dos series convergentes de la siguiente manera[8]: dadas ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=A}$ y ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=B}$, se define la suma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}+b_{n})=A+B.}$

De análoga manera se define el producto por un escalar ${\displaystyle c}$ como

${\displaystyle c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(c\cdot a_{n})=cA.}$

Con estas dos operaciones, se puede dotar de estructura de espacio vectorial a conjuntos de series.

El producto de dos series no resulta tan inmediato. Con frecuencia se considera el llamado producto de Cauchy, que se define como

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)}$

El producto de dos series convergentes puede no ser convergente. No obstante, por uno de los teoremas de Mertens, si ambas series convergen, y una de ellas lo hace absolutamente, entonces la suma del producto converge al producto de las sumas.

• Serie de Taylor.
• Serie de Laurent.
• Serie de Fourier.
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
• Series trigonométricas.
• Fórmula de Faulhaber.
• Serie convergente.
• Límite de una sucesión.
• 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄8 + 1⁄16 + …
• Anexo:Series matemáticas.

• Weisstein, Eric W. «Series». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Series», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.