Altura (geometría)

La altura de un triángulo respecto de un lado es el segmento perpendicular a dicho lado o a su prolongación y que pasa por el vértice opuesto, y por extensión, la longitud de dicho segmento.[2][3]

• La intersección de la altura y el lado opuesto o prolongación en su caso se denomina «pie» de la altura.

• El triángulo que tiene como sus tres vértices, los pies respectivos de las alturas se llama triángulo pedal

• Se considera también altura de un triángulo a la distancia que hay entre un lado y el vértice opuesto.

• La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, la que se expresa : ${\displaystyle A={\frac {b\cdot h}{2}}}$, donde A es el área, b la base –la longitud del lado opuesto –, y h su altura correspondiente.

• Esta fórmula se puede demostrar, trazando un paralelogramo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base. Se trazan una paralela a la base por el vértice opuesto a esta, y otra paralela a un lado que concurre al vértice ligado a tal altura.

En todo triángulo:

• Al menos una de las alturas se encuentra dentro del triángulo;
• La altura de mayor longitud es la correspondiente a la del lado menor del triángulo;
• Las tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo;
• La suma de las tres alturas de todo triángulo es menor que el perímetro de este.[4]

Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las respectivas longitudes de las alturas (h_a, h_b, h_c) aplicando las siguientes fórmulas:

• ${\displaystyle h_{a}={\frac {\tau }{a}}}$

• ${\displaystyle h_{b}={\frac {\tau }{b}}}$

• ${\displaystyle h_{c}={\frac {\tau }{c}}}$

Donde h_a es la altura del lado a; h_b , la del lado b; h_c, la del lado c y el término ${\displaystyle \tau }$ es:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}$

1. ${\displaystyle h_{a}={\frac {2}{a}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\tau }{a}}}$;
2. ${\displaystyle h_{b}={\frac {2}{b}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\tau }{b}}}$;
3. ${\displaystyle h_{c}={\frac {2}{c}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\tau }{c}}}$ [5]