Distancia

Existe una biyección (una correspondencia elemento a elemento) entre los puntos de una recta y el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, de modo que a cada número real le corresponde un solo punto, y a cada punto, exactamente un número real. Para hacer esto se precisa de un punto O y fijo de la recta y otro punto U, tal que por definición 1 es la abscisa de U. Se denota U(1). Están a la derecha los puntos de abscisa positiva, a la izquierda los puntos de abscisa negativa, y el origen O, tiene abscisa 0. Tal recta provista de abscisas para su puntos se denomina recta real.

Si ${\displaystyle A(x_{1})}$ y ${\displaystyle B(x_{2})}$ son dos puntos de la recta real, entonces la distancia entre los puntos A y B es ${\displaystyle d(A,B)=|x_{2}-x_{1}|}$ [1]

Si ${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$ y ${\displaystyle B(x_{2},y_{2})}$ son dos puntos de un plano cartesiano, entonces la distancia entre dichos puntos es calculable de la siguiente manera: Creese un tercer punto, llamese ${\displaystyle P(x_{2},y_{1})}$ a partir del cual se forma un triángulo rectángulo. Prosiguiendo a usar el Teorema de Pitágoras , con el segmento AB cómo hipotenusa.${\displaystyle H^{2}=(cat_{1})^{2}+(cat_{2})^{2}}$. Prosiguiendo a reemplazar la fórmula por los elementos de cada segmento y realizando el procedimiento:

${\displaystyle d(AB)^{2}=AP^{2}+BP^{2}}$

${\displaystyle d(AB)^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {d(AB)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$

${\displaystyle d(AB)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$ [2]

Si ${\displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico, ${\displaystyle E\subset X}$, ${\displaystyle E\neq \varnothing }$ y ${\displaystyle x\in X}$, podemos definir la distancia del punto ${\displaystyle x}$ al conjunto ${\displaystyle E}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle d(x,E):=\inf\{d(x,y):y\in E\}}$.[4]

Es de destacar las siguientes tres propiedades:

• En primer lugar, en las condiciones dadas, siempre existirá esa distancia, pues ${\displaystyle d}$ tiene por dominio ${\displaystyle X\times X}$, así que para cualquier ${\displaystyle y\in E}$ existirá un único valor real positivo ${\displaystyle d(x,y)}$. Por la completitud de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ y como la imagen de d está acotada inferiormente por 0, queda garantizada la existencia del ínfimo de ese conjunto, esto es, la distancia del punto al conjunto.

• Si ${\displaystyle x\in E}$ entonces ${\displaystyle d(x,E)=0}$.

• Puede ser que ${\displaystyle d(x,E)=0}$ pero ${\displaystyle x\notin E}$, por ejemplo si ${\displaystyle x}$ es un punto de adherencia de ${\displaystyle E}$. De hecho, la clausura de ${\displaystyle E}$ es precisamente el conjunto de los puntos de ${\displaystyle X}$ que tienen distancia 0 a ${\displaystyle E}$.

Los casos de distancia de un punto a una recta o de distancia de un punto a un plano no son más que casos particulares de la distancia de un punto a un conjunto, cuando se considera la distancia euclidiana.

Puede utilizarse el siguiente método: Dado un punto (n,m) que no pertenece a la recta f(x), 1) Hallar la ecuación de la recta perpendicular a f(x) que pasa por (n,m). Esto acarrea dos pasos: hallar la pendiente (pendiente perpendicular) y hallar la ordenada al origen (reemplazando el punto (n,m) y despejando). 2) Hallar la intersección entre estas dos rectas. Esto acarrea dos pasos: hallar la x de la intersección por igualación, hallar la y de la intersección sustituyendo la x en cualquiera de las dos ecuaciones. Con esto se obtiene el punto (o,p) 3) Hallar la distancia entre (n,m) y (o,p).

Si ${\displaystyle (X,d)}$ es un espacio métrico, ${\displaystyle A\subset X}$ y ${\displaystyle B\subset X}$, ${\displaystyle A\neq \varnothing }$, ${\displaystyle B\neq \varnothing }$, podemos definir la distancia entre los conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ de la siguiente manera:

${\displaystyle d(A,B):=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}}$.[5]

Por la misma razón que antes, siempre está definida. Además ${\displaystyle d(A,A)=0}$, pero puede ocurrir que ${\displaystyle d(A,B)=0}$ y sin embargo ${\displaystyle A\neq B}$. Es más, podemos tener dos conjuntos cerrados cuya distancia sea 0 y sin embargo sean disjuntos, e incluso que tengan clausuras disjuntas.

Por ejemplo, el conjunto ${\displaystyle A:=\{(x,0):x\in \mathbb {R} \}}$ y el conjunto ${\displaystyle B:=\{(x,e^{x}):x\in \mathbb {R} \}}$. Por un lado, ${\displaystyle A=\operatorname {cl} (A)}$, ${\displaystyle B=\operatorname {cl} (B)}$ y ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, y por otro ${\displaystyle d(A,B)=0}$.

La distancia entre dos rectas, la distancia entre dos planos, etc. no son más que casos particulares de la distancia entre dos conjuntos cuando se considera la distancia euclidiana.

En la teoría de la relatividad, debido a fenómenos como la contracción de la longitud y la relatividad de la simultaneidad, las distancias entre objetos dependen de la elección del marco de referencia inercial. A escalas galácticas y mayores, la medición de la distancia también se ve afectada por la expansión del universo. En la práctica, se utilizan varias medidas de distancia en cosmología para cuantificar dichas distancias.

Distancia Manhattan en una cuadrícula

Las definiciones inusuales de distancia pueden ser útiles para modelizar ciertas situaciones físicas, pero también se utilizan en matemáticas teóricas:

• En la práctica, a menudo se está interesado en la distancia de viaje entre dos puntos a lo largo de las carreteras, en lugar de a vuelo de pájaro. En un plano cuadriculado, la distancia de viaje entre las esquinas de las calles viene dada por la distancia Manhattan: el número de manzanas este-oeste y norte-sur que hay que atravesar para llegar entre esos dos puntos.
• La distancia del tablero de ajedrez, formalizada como distancia de Chebyshov, es el número mínimo de movimientos que un rey debe realizar en un tablero de ajedrez para desplazarse entre dos casillas.

En estadística y geometría de la información, las distancias estadísticas miden el grado de diferencia entre dos distribuciones de probabilidad. Hay muchos tipos de distancias estadísticas, típicamente formalizadas como divergencias; permiten entender un conjunto de distribuciones de probabilidad como un objeto geométrico llamado colector estadístico. La más elemental es la distancia euclídea al cuadrado, que se minimiza por el método de mínimos cuadrados; es la divergencia de Bregman más básica. La más importante en teoría de la información es la entropía relativa o divergencia de Kullback-Leibler, que permite estudiar de forma análoga la estimación de máxima verosimilitud geométricamente; es un ejemplo tanto de f-divergencia como de divergencia de Bregman (y de hecho el único ejemplo que es ambas). Las variedades estadísticas correspondientes a las divergencias de Bregman son variedades planas en la geometría correspondiente, lo que permite utilizar un análogo del teorema de Pitágoras (que se cumple para la distancia euclídea al cuadrado) para problemas inversos lineales en la inferencia por teoría de la optimización.

Otras distancias estadísticas importantes son la distancia de Mahalanobis y la distancia de energía.

En informática, una distancia de edición o «métrica de cadena» entre dos cadenas mide lo diferentes que son. Por ejemplo, las palabras "perro" y "punto", que difieren sólo en una letra, están más cerca que "perro" y "gato", que no tienen ninguna letra en común. Esta idea se utiliza en correctores ortográficos y en teoría de la codificación, y se formaliza matemáticamente de varias formas diferentes, como distancia de Levenshtein, distancia de Hamming, distancia de Lee y distancia de Jaro-Winkler.

En un grafo, la distancia entre dos vértices se mide por la longitud del camino de arista más corto entre ellos. Por ejemplo, si el grafo representa una red social, entonces la idea de seis grados de separación puede interpretarse matemáticamente como que la distancia entre dos vértices cualesquiera es como máximo seis. Del mismo modo, el número de Erdős y el número de Bacon -el número de relaciones de colaboración que separan a una persona del prolífico matemático Paul Erdős y del actor Kevin Bacon, respectivamente- son distancias en los grafos cuyas aristas representan colaboraciones matemáticas o artísticas.

En psicología, geografía humana, y las ciencias socialess, la distancia se teoriza a menudo no como una medida numérica objetiva, sino como una descripción cualitativa de una experiencia subjetiva.[6] Por ejemplo, la distancia psicológica es "las diferentes formas en que un objeto puede estar alejado" del yo a lo largo de dimensiones como "el tiempo, el espacio, la distancia social y la hipotética". [7] En sociología, la distancia social describe la separación entre individuos o grupos sociales en sociedad a lo largo de dimensiones como clase social, raza/etnia, género o sexualidad.