Desigualdad triangular

Como casos iniciales observamos que para n=1:

${\displaystyle |x_{1}|\leq |x_{1}|}$

puesto que el símbolo ${\displaystyle \leq }$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad

Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica

${\displaystyle |x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|}$

Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$

Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.

Partimos de la siguiente expresión:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|}$

y observando que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}}$ es un número real y ${\displaystyle x_{k+1}}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|}$

Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.}$

la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.}$

Sin embargo, esta última expresión es precisamente

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$

de manera que hemos demostrado

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.}$

y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.