Superficie (matemática)

Un punto p donde la matriz jacobiana anterior tiene rango dos se llama regular, o, más apropiadamente, la parametrización es llamada regular en p.

El plano tangente en un punto Regular p es el único plano que pasa a través de p y tiene una dirección paralela a los dos vectores fila de la matriz jacobiana. el plano tangente es un concepto afín, porque esta definición es independiente de la elección de una métrica. en otras palabras, cualquier transformación afín asigna el plano tangente a la superficie en un punto al plano tangente a la imagen de la superficie en la imagen del punto.

La línea normal de un punto de una superficie es la única línea Que pasa a través del punto y perpendicular al plano tangente; el vector normal es un vector paralelo al normal.

Para otras invariantes diferenciales de superficies, en la cercanía de un punto, ver la geometría diferencial de superficies.

Un punto de una superficie paramétrica que no es regular es irregular. Esto son varios tipos de puntos irregulares.

Puede ocurrir que un punto regular se haga regular, sí se cambia la parametrización. Este es el caso de los polos en la parametrización de la esfera unitaria por los ángulos Euler: basta con intercambiar el papel de los diferentes ejes de coordenadas para cambiar los polos.

Por otro lado, considere el cono circular de la ecuación paramétrica

${\displaystyle x=tcos(u)}$

${\displaystyle y=tsin(u)}$

${\displaystyle z=t}$.

El vértice del cono es el origen (0,0,0), y se obtiene por t=0. Es un punto irregular que sigue siendo irregular, cualquiera que sea la parametrización escogida (de lo contrario, existiría un único plano tangente). Tal punto irregular, donde el plano tangente es indefinido, es expresado como singular.[2]

Hay otro tipo de puntos singulares. Existen los puntos Auto-cruce, es decir, Qué son los puntos donde la superficie se cruza a sí misma. En otras palabras, estos son los puntos que son obtenidos para (al menos) dos diferentes valores de los parámetros.

Sea ${\displaystyle z=f(x,y)}$ Una función de dos variables reales. Esta es la superficie paramétrica, parametrizada como

${\displaystyle x=t}$

${\displaystyle y=u}$

${\displaystyle z=f(t,u)}$.

Cada punto en esta superficie regular, ya que las dos primeras columnas de la matriz jacobiana forman la matriz identidad de rango dos.

Articulo principal: superficie racional

Una superficie racional es una superficie que puede ser parametrizada por Funciones racionales de dos variables. esta es, sí ${\displaystyle f_{i}(t,u)}$ son, por i= 0,1,2,3, polinomios en dos indeterminados, entonces la superficie paramétrica, es definida por

${\displaystyle x={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}}$

${\displaystyle y={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}}$

${\displaystyle z={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}}$,

es una superficie racional.

Una superficie racional es una superficie algebraica, pero la mayoría de las superficies algebraicas no son racionales.

Un punto de la superficie donde al menos una derivada parcial de f es diferente de cero es llamada regular. En tal punto ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$, el plano tangente y la dirección de la normal están bien definidos, y pueden deducirse, con el teorema de la función implícita de la definición anterior, en § plano tangente y vector normal. la dirección de la normal es el gradiente, que es el vector

${\displaystyle \left[{\partial f \over \partial x}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\partial f \over \partial y}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\partial f \over \partial z}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].}$

El plano tangente es definido por esta ecuación implícita

${\displaystyle {\partial f \over \partial x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\partial f \over \partial y}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\partial f \over \partial z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0}$.

Un punto singular de una superficie implícita (en ${\displaystyle \mathbb {R^{3}} }$) es un punto de la superficie donde se cumple la ecuación implícita y las tres derivadas parciales de su función definitoria son todas cero. Por tanto, los puntos singulares son las soluciones de un sistema de cuatro ecuaciones en tres indeterminadas. Como la mayoría de estos sistemas no tienen solución, muchas superficies no tienen ningún punto singular. Una superficie sin punto singular se llama regular o no singular .

El estudio de las superficies cerca de sus puntos singulares y la clasificación de los puntos singulares es la teoría de la singularidad. Un punto singular está aislado si no hay otro punto singular en la cercanía de él. De lo contrario, los puntos singulares pueden formar una curva. Este es en particular el caso de las superficies auto cruzadas.

Cualquier polinomio con coeficientes en cualquier campo es aceptado por definir una superficie algebraica. Sin embargo, el campo de coeficientes de un polinomio no está bien definido, como por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales puede ser considerado un polinomio con coeficientes complejos o reales. Por lo tanto, el concepto de punto de una superficie ha sido generalizado de la siguiente manera:

Considerando un polinomio f(x, y, z) dejaremos a k en el campo más pequeño conteniendo los coeficientes, y K puede ser una extensión algebraica cerrada de k, de grado infinito de trascendencia. Entonces un punto de la superficie es un elemento de K3 que es una solución de la ecuación.

${\displaystyle f(x,y,z)=0}$

Si el polinomio tiene coeficientes reales, el campo K es el campo complejo, y un punto de la superficie que pertenece a ${\displaystyle R^{3}}$ (un punto usual) es llamado un punto real. Un punto que pertenezca a ${\displaystyle k^{3}}$ es llamado racional sobre k, o simplemente un punto racional si k es el campo de números racionales.[4]

Una superficie proyectiva en un espacio proyectivo de tres dimensiones es el conjunto de puntos cuyas coordenadas homogéneas son ceros de un solo polinomio homogéneo en cuatro variables. Mas generalmente, una superficie proyectiva es un subconjunto de un espacio proyectivo, que es una variedad proyectiva de dos dimensiones.

Las superficies proyectivas están fuertemente relacionadas con las superficies afines (es decir, superficies algebraicas ordinarias). Se pasa de una superficie proyectiva a la superficie afín correspondiente asignando a uno alguna coordenada o indeterminada de los polinomios definidores (normalmente el último). Por el contrario, se pasa de una superficie afín a su superficie proyectiva asociada (llamada terminación proyectiva) al homogeneizar el polinomio definitorio (en el caso de superficies en un espacio de dimensión tres), o al homogeneizar todos los polinomios del ideal definitorio (para superficies en un espacio de dimensión superior).

No se puede definir el concepto de una superficie algebraica en un espacio de dimensiónes superiores a tres sin una definición general de una variedad algebraica y de la dimensión de una variedad algebraica . De hecho, una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos.

Más precisamente, una superficie algebraica en un espacio de dimensión n es el conjunto de los ceros comunes de al menos n – 2 polinomios, pero estos polinomios deben satisfacer otras condiciones que pueden no ser inmediatas de verificar. En primer lugar, los polinomios no deben definir una variedad o un conjunto algebraico de mayor dimensión, que suele ser el caso si uno de los polinomios está en el ideal generado por los demás. Generalmente, n – 2 polinomios definen un conjunto algebraico de dimensión dos o superior. Si la dimensión es dos, el conjunto algebraico puede tener varias componentes irreducibles. Si solo hay un componente el n – 2 los polinomios definen una superficie, que es una intersección completa . Si hay varios componentes, entonces se necesitan más polinomios para seleccionar un componente específico.

La mayoría de los autores consideran como superficie algebraica sólo las variedades algebraicas de dimensión dos, pero algunos también consideran como superficies todos los conjuntos algebraicos cuyas componentes irreducibles tienen la dimensión dos.

En el caso de superficies en un espacio de dimensión tres, toda superficie es una intersección completa, y una superficie está definida por un solo polinomio, que es irreducible o no, según se consideren como superficies conjuntos algebraicos no irreducibles de dimensión dos o no.[5]