Anexo:Momentos de inercia de áreas

Este anexo contiene una lista de momentos de inercial para áreas. El momento de inercia de área o segundo momento de área tiene como unidad de medida [longitud]⁴ y no debe ser confundido con el momento de inercia másico (cuyas unidades son [masa]·[longitud]²). Para una pieza plana deltada, el momento de inercia másico es proporcional al momento de inercia de área (siendo la constante de proporcionalidad la densidad del material por el espesor). Por defecto, los momentos de área de esta lista se especifican respecto a un eje horizontal que pase por el centroide, a menos que se especifique otra cosa.

Momentos de inercia para áreas

C.D.V.B del
área plana

Figura

Segundo momento
de área

Comentario

Círculo macizo de radio r

I_{x}={\frac {\pi }{4}}r^{4}

I_{y}={\frac {\pi }{4}}r^{4}

I_{z}={\frac {\pi }{2}}r^{4}

[1]

I_{z}

es el momento de inercia polar.

Un anillo de radio interno r₁ y radio externo r₂

I_{x}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)

I_{y}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)

I_{z}={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)

Para tubos delgados,

r\equiv r_{1}\approx r_{2}

y

t\equiv r_{2}-r_{1}

. Podemos ver que

\left(r_{2}^{2}+r_{1}^{2}\right)\left(r_{2}+r_{1}\right)\approx 4r^{3}

y a fortiori, para un tubo delgado,

I_{x}=I_{y}=\pi {r}^{3}{t}

.

$I_{z}$ es el momento de inercia polar.

Un sector circular macizo de ángulo θ en radianes y radio r con respecto a un eje que pase por el centroide del sector circular y el centro del círculo original

I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}

Esta fórmula es válida sólo para 0 ≤

\theta

≤

\pi

.

Un semicírculo macizo de radio r respecto a una línea horizontal que pase por el centroide del área

I_{x}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}

I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}

[2]

Un semicírculo macizo como antes pero respecto a un eje colineal a la base

I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{8}}

$I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}$ [2]

I_{x}

: Esto es una consecuencia del teorema de ejes paralelos de Steiner y del hecho que la distancia entre los dos ejes es

{\frac {4r}{3\pi }}

.[2]

Un cuarto de círculo de radio r contenido en el primer cuadrante

I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{16}}

$I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{16}}$ [3]

Un cuarto de círculo como antes respecto a un eje horizontal o vertical que pase por el centroide

I_{x}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}

I_{y}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}

[3]

Esto es una consecuencia del teorema de ejes paralelos de Steiner y del hecho que la distancia entre los dos ejes es

{\frac {4r}{3\pi }}

.[3]

Una elipse maciza cuyo semieje paralelo a x es a y cuyo semieje paralelo a y es b

I_{x}={\frac {\pi }{4}}ab^{3}

I_{y}={\frac {\pi }{4}}a^{3}b

Un rectángulo macizo de base b y altura h

I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}

I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}

[4]

Un rectángulo macizo como antes pero respecto a un eje colineal con la base

I_{x}={\frac {bh^{3}}{3}}

$I_{y}={\frac {b^{3}h}{3}}$ [4]

Esto es consecuencia del teorema de Steiner.

Un rectángulo macizo como antes pero con respecto a un eje colineal, donde r es la distancia perpendicular entre el centroide y el eje de interés.

I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}+bhr^{2}

Este resultado es consecuencia del teorema de Steiner.[4]

Un rectángulo hueco con un rectángulo interior de base

b_{1}

y altura h_1.

I_{x}={\frac {bh^{3}-b_{1}h_{1}^{3}}{12}}

$I_{y}={\frac {b^{3}h-b_{1}^{3}h_{1}}{12}}$

Un triángulo macizo de base b y altura h con respecto a un eje que pase por el centroide.

I_{x}={\frac {bh^{3}}{36}}

$I_{y}={\frac {b^{3}h-b^{2}ha+bha^{2}}{36}}$ [5]

Un triángulo macizo como el de arriba, pero con respecto a un eje colinear con la base.

I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}

$I_{y}={\frac {b^{3}h+b^{2}ha+bha^{2}}{12}}$ [5]

Este resultado es consecuencia del teorema de Steiner.[5]

Un hexágono regular de lado a

I_{x}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}

$I_{y}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}$

El resultado es válido para ambos, un eje horizontal o vertical, a través del centroide, y por lo tanto es también válido para un eje con dirección arbitraria que pasa a través del origen.

Una escuadra con los lados iguales, de uso frecuente en ingeniería.

Archivo:Second Moment of Area Angle.jpg

I_{x}=I_{y}={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}

$I_{(xy)}={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}{4(t-2L)}}$

$I_{a}={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}$

$I_{b}={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}$

I_{(xy)}

es el producto de inercia, usado para definir la inercia con un eje rotado.

Cualquier región plana con un momento de inercia de área conocido para un eje paralelo (Artículo principal: Teorema de los ejes paralelos )

I_{z}=I_{x}+Ar^{2}

Puede ser usado para determinar el segundo momento de área de un cuerpo rígido con respecto a cualquier eje, dado el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje paralelo a través del centro de masa del objeto y la distancia perpendicular (r) entre los ejes.

Véase también

Anexo:Momentos de inercia másicos

Referencias

«Circle». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.
«Circular Half». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.
«Quarter Circle». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.
«Rectangular area». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.
«Triangular area». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.

Bibliografía

Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

Online Calculator for Area Moment of Inertia

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[1] «Circle». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.

[semicircle-2] «Circular Half». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.

[quartercircle-3] «Quarter Circle». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.

[rect-4] «Rectangular area». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.

[tri-5] «Triangular area». eFunda. Consultado el 30 de diciembre de 2006.