Toroide

Las coordenadas de un punto cualquiera del toro se obtienen mediante las siguientes expresiones, donde intervienen los parámetros: α es la latitud del punto respecto del plano xz, y β el ángulo de rotación de la circunferencia generatriz alrededor del eje z o longitud. Se tiene entonces que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\operatorname {sen} \ \beta \\z=r\operatorname {sen} \ \alpha \end{array}}\right.}$

A cualquier par ordenado de valores de los ángulos α y β le corresponde un punto del toro de coordenadas: x, y, z.

Partiendo de las ecuaciones:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=(R+r=X\ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\operatorname {sen} \ \beta \\\operatorname {sen} ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}}$

se puede eliminar el ángulo β. A partir de las siguientes ecuaciones, se puede también eliminar α:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}\\z=r\operatorname {sen} \ \alpha \\\operatorname {sen} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=\left(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\right)^{2}}$

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje de giro es el eje z, R la distancia del centro del círculo al eje y r el radio del círculo, es:

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$

racionalizando

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0}$ [3]

donde la expresión de la derecha es la ecuación que deben satisfacer las coordenadas x, y, z de cualquier punto del toro.