Contracción (espacio métrico)

Una contracción posee a lo más un punto fijo. Más aún, el teorema de Banach del punto fijo afirma que toda contracción sobre un espacio métrico completo tiene un único punto fijo, y por tanto para cada x de M la secuencia iterativa x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... converge al punto fijo. Esta noción es muy útil en el contexto de los sistemas de funciones iteradas, donde se usan frecuentemente las contracciones. El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para probar la existencia de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales, y se usa para la prueba del teorema de la función inversa.[1] Toda contracción es Lipschitz-continua y por tanto uniformemente continua.

Más generalmente, el concepto de contracción puede ampliarse a aplicaciones entre diferentes espacios métricos. Por ejemplo, si (M,d) y (N,d') son dos espacios métricos, ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ será una contracción si existe una constante k tal que ${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$ para todo x e y de M. Aunque en este caso no tiene sentido hablar de puntos fijos.

• Función corta
• Contracción (teoría de operadores)
• Teorema del punto fijo de Banach