Apolonio de Perge

Nació alrededor del 262 a. C. en la ciudad de Perge o Perga (Turquía) y falleció alrededor del 190 a. C. en Alejandría, Egipto.

Se sabe que permaneció en la ciudad de Perge durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y Ptolomeo Filopátor, a la vez que fue tesorero general de Ptolomeo Filadelfo. Por las fuentes se puede afirmar que era entre veinticinco y cuarenta años más joven que Arquímedes, de ahí la estimación de sus años de nacimiento y muerte. Aparte de eso, lo poco que se sabe de su vida es que estudió en Alejandría y en esta ciudad se dedicó a la enseñanza.

Apolonio estudió las secciones cónicas utilizando como herramienta las proporciones, relacionando las magnitudes de cada elemento que conforman cada sección cónica en el caso de la parábola, elipse e hipérbola donde utilizó este método para definir las propiedades de cada corte con el cono, como lo demuestra Heath (1896), además propuso y resolvió el problema de hallar las circunferencias tangentes a tres círculos dados, conocido como problema de Apolonio. El problema aparece en su obra, hoy perdida, Las Tangencias o Los Contactos, conocida gracias a Pappus de Alejandría. Respecto a sus obras, se han perdido muchas:

• Reparto rápido (Ὠκυτόκιον), en el que se enseñaban métodos rápidos de cálculo y se daba una aproximación del número π.
• Secciones en una razón dada (Λόγου ἀποτομή, De Rationis Sectione) , trataba sobre los problemas derivados de trazar una recta que pase por un punto dado y que corte a otras dos rectas dadas en segmentos (medidos desde sendos puntos situados en dichas rectas) que estén en una razón dada (este problema es equivalente a resolver la ecuación${\displaystyle ax-x^{2}=bc}$).
• Secciones en un área dada (Χωρίου ἀποτομή, De Spatii Sectione), problema parecido al anterior, pero ahora se pide que los segmentos determinados por las intersecciones formen un rectángulo equivalente a otro (este problema es equivalente a resolver la ecuación${\displaystyle ax+x^{2}=bc}$).
• Secciones determinadas (Διωρισμένη τομή, De Sectione Determinata), dados cuatro puntos A, B, C, D, sobre una recta, encontrar un quinto punto P, tal que el rectángulo construido sobre AP y CP esté en una razón dada con el rectángulo construido sobre BP y DP.
• Tangencias (Ἐπαφαί, De Tactionibus), resuelve los problemas de construir una circunferencia tangente a tres elementos cualesquiera elegidos entre un punto, una recta y una circunferencia (este problema se conoce como el problema de Apolonio).
• Lugares planos (Τόποι ἐπίπεδοι, De Locis Planis), los griegos clasificaban las curvas en tres tipos: lugares planos, eran las rectas y las circunferencias, lugares sólidos eran las secciones cónicas y lugares lineales el resto de las curvas; Inclinaciones, trataba del problema de trazar una circunferencia dada una cuerda de longitud dada pasando por un punto dado.

Edición de 1654 de Las Cónicas editada por Francesco Maurolico

Solo dos obras de Apolonio han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (no se conserva el original sino una traducción al árabe) y Las Cónicas (únicamente se conserva el original de la mitad de la obra, el resto es una traducción al árabe). Esta última es la obra más importante de Apolonio, es más, junto con los Elementos de Euclides es uno de los libros más importantes de matemáticas.

Cónicas de Apolonio. Traducción al árabe

Las Cónicas está formado por 8 libros.[5] Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, ya en Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró.

• El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
• El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
• El libro III: trata de los tipos de conos.
• El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
• El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
• El libro VI: trata sobre cónicas semejantes.
• El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
• El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual. De hecho ya utilizaba las coordenadas rectangulares. Con ayuda de estas, Apolonio definió curvas que eran bien conocidas en su tiempo: la parábola, la hipérbola y la elipse mediante las ecuaciones:

• Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle y^2 = p \cdot x } ( parábola)
• ${\displaystyle y^{2}=p\cdot x+{\cfrac {p}{a}}\cdot x^{2}}$ (hipérbola)
• ${\displaystyle y^{2}=p\cdot x-{\cfrac {p}{a}}\cdot x^{2}}$ (elipse)

donde p y a son números positivos .[6]

Apolonio fue un geómetra prolífico, con un gran número de obras. Sólo se conserva una, Cónicas. De los ocho libros que la componen, sólo los cuatro primeros pueden considerarse verosímiles a partir de los textos originales de Apolonio. Los libros 5-7 sólo están disponibles en una traducción árabe de Thābit ibn Qurra encargada por los Banū Mūsā. El original griego se ha perdido.[7] Se desconoce el estado del Libro VIII. Existió un primer borrador. Se desconoce si se llegó a producir el borrador final. Existe una "reconstrucción" de Edmond Halley en latín. No hay manera de saber cuánto de él, si es que hay algo, se parece a Apolonio. Halley también reconstruyó De Rationis Sectione y De Spatii Sectione. Más allá de estas obras, salvo un puñado de fragmentos, termina la documentación que de algún modo podría interpretarse como descendiente de Apolonio.

Muchas de las obras perdidas son descritas o mencionadas por comentaristas. Además, hay ideas atribuidas a Apolonio por otros autores sin documentación. Creíbles o no, son rumores. Algunos autores identifican a Apolonio como autor de ciertas ideas, a las que por consiguiente se da su nombre. Otros intentan expresar a Apolonio en notación o fraseología moderna con grados indeterminados de fidelidad.

Libro I

Las secciones cónicas, o figuras bidimensionales formadas por la intersección de un plano con un cono en diferentes ángulos. La teoría de estas figuras fue desarrollada ampliamente por los antiguos matemáticos griegos, perviviendo especialmente en obras como las de Apolonio de Perga. Las secciones cónicas impregnan las matemáticas modernas.

El libro I presenta 58 proposiciones. Su contenido más destacado son todas las definiciones básicas relativas a los conos y las secciones cónicas. Estas definiciones no son exactamente iguales a las modernas de las mismas palabras. Etimológicamente las palabras modernas derivan de las antiguas, pero el etimónimo a menudo difiere en significado de su reflejo.

Una superficie cónica es generada por un segmento de recta girado alrededor de un punto de bisección tal que los puntos extremos trazan circunferencias, cada una en su propio plano. Un cono, una rama de la superficie cónica doble, es la superficie con el punto (ápice o vértice), el círculo (base), y el eje, una línea que une el vértice y el centro de la base.

Una "sección transversal" (latín sectio, griego tome) es un "corte" imaginario de un cono por un plano.

• Proposición I.3: "Si un cono es cortado por un plano que pasa por el vértice, la sección es un triángulo". En el caso de un cono doble, la sección son dos triángulos tales que los ángulos en el vértice son ángulos verticales.
• La proposición I.4 afirma que las secciones de un cono paralelas a la base son circunferencias con centro en el eje.[10]
• La proposición I.13 define la elipse, que se concibe como el corte de un cono simple por un plano inclinado respecto al plano de la base y que interseca a ésta en una línea perpendicular al diámetro extendido de la base fuera del cono (no se muestra). El ángulo del plano inclinado debe ser mayor que cero, o la sección sería un círculo. Debe ser menor que el correspondiente ángulo de la base del triángulo axial, en el que la figura se convierte en una parábola.
• La proposición I.11 define una parábola. Su plano es paralelo a un lado de la superficie cónica del triángulo axial.
• La proposición I.12 define una hipérbola. Su plano es paralelo al eje. Corta a las dos cónicas del par, adquiriendo así dos ramas distintas (sólo se muestra una).

Los geómetras griegos estaban interesados en disponer figuras selectas de su inventario en diversas aplicaciones de la ingeniería y la arquitectura, como acostumbraban a hacer los grandes inventores, como Arquímedes. La demanda de secciones cónicas existía entonces y existe ahora. El desarrollo de la caracterización matemática había movido a la geometría en la dirección del álgebra geométrica griega, que presenta visualmente fundamentos algebraicos como la asignación de valores a segmentos de recta como variables. Utilizaban un sistema de coordenadas intermedio entre una cuadrícula de medidas y el sistema de coordenadas cartesianas. Las teorías de la proporción y la aplicación de áreas permitieron el desarrollo de ecuaciones visuales. (Véase más adelante Métodos de Apolonio).

• El cráter lunar Apollonius lleva este nombre en su memoria.[11]

• Problema de Apolonio

• Biografía de Apolonio en DivulgaMat.
• Historia de las matemáticas. Apolonio