Coma flotante

La notación científica se usa para representar números reales. Siendo r el número real a representar, la representación en notación científica está compuesta por tres partes:

${\displaystyle r=c\cdot b^{e}\,\!}$

• c. El coeficiente, formado por un número real con un solo dígito entero seguido de una coma (o punto) y de varios dígitos fraccionarios.
• b. La base, que en nuestro sistema decimal es 10, y en el sistema binario de los computadores es 2.
• e. El exponente entero, el cual eleva la base a una potencia.

Un signo en el coeficiente indica si el número real es positivo o negativo.

El coeficiente tiene una cantidad determinada de dígitos significativos, los cuales indican la precisión del número representado, cuantos más dígitos tenga el coeficiente, más precisa es la representación. Por ejemplo, el número π puede representarse en notación científica con 3 cifras significativas, 3,14 x 10⁰, o con 12 cifras significativas, 3,14159265359 x 10⁰; la segunda representación tiene mucha más precisión que la primera.

El coeficiente se multiplica por la base elevada a un exponente entero. En el sistema decimal la base es 10. Al multiplicar el coeficiente por la base elevada a una potencia entera, se desplaza la coma del coeficiente tantas posiciones (tantos dígitos) como indique el exponente. La coma se desplaza hacia la derecha si el exponente es positivo o hacia la izquierda si es negativo.

Ejemplo de cómo cambia un número al variar el exponente de la base:

• 2,71828 x 10^-2 representa al número real 0,0271828
• 2,71828 x 10^-1 representa al número real 0,271828
• 2,71828 x 10 ⁰ representa al número real 2,71828 (el exponente cero indica que la coma no se desplaza)
• 2,71828 x 10 ¹ representa al número real 27,1828
• 2,71828 x 10 ² representa al número real 271,828

Un ejemplo de número en notación científica es el siguiente:

-1,234 567 89 x 10³

El coeficiente es -1,23456789, tiene 9 dígitos significativos y está multiplicado por la base diez elevada a la 3. El signo del coeficiente indica si el número real representado por la notación científica es positivo o negativo.

El valor de la potencia indica cuántas posiciones (cuántos dígitos) debe desplazarse la coma del coeficiente para obtener el número real final. El signo de la potencia indica si ese desplazamiento de la coma debe hacerse hacia la derecha o hacia la izquierda: una potencia positiva indica que el desplazamiento de la coma es hacia la derecha, mientras que un signo negativo indica que el desplazamiento debe ser hacia la izquierda. Si el exponente es cero, la coma no se desplaza ninguna posición. La razón de la denominación «coma flotante» es porque la coma se desplaza o «flota» tantos dígitos como indica el exponente de la base; al cambiar el exponente, la coma «flota» a otra posición.

En el número representado en la notación científica anterior, -1,23456789 x 10³, el exponente es 3 positivo, lo que indica que la coma del coeficiente -1,23456789 debe desplazarse 3 posiciones hacia la derecha, dando como resultado el número real equivalente:

-1234,567 89

Sigue una tabla con ejemplos de números reales de tres dígitos significativos y su representación en notación científica:

Como puede verse en la tabla, la representación en notación científica de los números reales es mucho más compacta cuando los números son muy grandes en magnitud o cuando son de magnitud muy pequeña (cercanos a cero); por eso, se usa mucho en ciencia, donde hay que manejar cifras enormes, como la masa del Sol, 1,98892 × 10³⁰ kg, o muy pequeñas, como la carga del electrón, -1,602176487 × 10^-19 culombios, y también por eso se usa, en forma de coma flotante, para la representación de números reales en la computadora.

Para la entrada y el despliegue de números en notación científica, las computadoras y las calculadoras pueden representarlos de diferentes maneras. Por ejemplo, dependiendo del sistema, la velocidad de la luz, 2,99792458 x 10⁸, puede representarse como sigue:

En los próximos ejemplos se describe la notación de coma flotante. Abajo hay tres números en una representación de coma flotante de 16 bits. El bit de la izquierda es el signo, luego hay 6 bits para el exponente, seguidos de 9 bits para la parte significativa:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Signo}}\\\overbrace {1} \\0\\0\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{Exponente}}\\\overbrace {100011} \\011011\\101001\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{Parte Significativa}}\\\overbrace {011101100} \\111001101\\000000001\end{matrix}}{\begin{matrix}\ \\\quad =\mathrm {0xC6EC} \\\quad =\mathrm {0x37CD} \\\ =\mathrm {0x5201} \end{matrix}}}$

El bit de la izquierda expresa el sigma, con 0 indicando que el número es positivo y 1 indicando que el número es negativo. En los ejemplos de arriba, el primer número es negativo y los otros dos son positivos.

El exponente indica cuánto se debe desplazar (hacia la derecha o hacia la izquierda) la coma binaria de la parte significativa. En este caso, el exponente ocupa 6 bits capaces de representar 64 valores diferentes; es decir, es un exponente binario (de base 2) que va desde -31 a +32 para representar potencias de 2 entre 2^-31 y 2⁺³² e indica que la coma binaria se puede desplazar hasta 31 dígitos binarios hacia la izquierda (un número muy cercano a cero) y hasta 32 dígitos binarios hacia la derecha (un número muy grande).

Pero el exponente no se almacena como un número binario con signo (desde -31 hasta +32), sino como un entero positivo equivalente que va desde 0 hasta 63. Para ello, al exponente se le debe sumar un desplazamiento (bias) que, en este caso del exponente de 6 bits (64 valores), es de 31 (31 es la mitad de los 64 valores que se pueden representar, menos 1) y, al final, el rango del exponente de -31 a +32 queda representado internamente como un número entre 0 y 63, donde los números entre 31 y 63 representan los exponentes entre 0 y 32 y los números entre 0 y 30 representan los exponentes entre -31 y -1 respectivamente:

-31              0               32 <-- Exponente binario real
 +-------+-------+-------+-------+
 0               31              63 <-- Representación en coma flotante
                                        del exponente de 6 bits
                                        (Es el exponente binario más un bit de 31)

La parte significativa, en este caso, está formada por 10 dígitos binarios significativos, de los cuales 9 son dígitos explícitos y 1 implícito que no se almacena.

Esta parte significativa generalmente está normalizada y tendrá siempre un 1 como el bit más significativo. Debido a que, salvo ciertas excepciones, el bit más significativo del significante siempre es 1, para ahorrar espacio y para aumentar la precisión en un bit, este bit no se almacena, y por ello se denomina bit oculto o implícito; sin embargo, antes de realizar los cálculos este bit implícito debe convertirse en un bit explícito.

La notación genérica para la coma flotante descrita arriba representa respectivamente los siguientes números reales (expresados en binario). El color rojo indica el bit más significativo, que cuando se almacena es implícito (ver arriba la parte significativa en la representación de coma flotante), pero cuando se hacen los cálculos o cuando se muestra la información se vuelve explícito:

${\displaystyle -\color {red}1\color {black},011101100\times 2^{4}=-\color {red}1\color {black}0111,01100}$ (La coma se desplaza 4 posiciones binarias (bits) a la derecha)

${\displaystyle \color {red}1\color {black},111001101\times 2^{-4}=0,000\color {red}1\color {black}111001101}$ (La coma se desplaza 4 posiciones binarias a la izquierda)

${\displaystyle \color {red}1\color {black},000000001\times 2^{10}=\color {red}1\color {black}0000000010,0}$ (La coma se desplaza 10 posiciones binarias a la derecha)

(con todos los valores expresados en representación binaria)

Para un tamaño determinado de bytes, la notación en coma flotante puede ser más lenta de procesar y es menos precisa que la notación en coma fija, ya que, además de almacenar el número (parte significativa), también debe almacenarse el exponente, pero permite un mayor rango en los números que se pueden representar.

Debido a que las operaciones aritméticas que se realizan con números en coma flotante son complejas, muchos sistemas destinan un procesador especial específico para este tipo de operaciones, denominado unidad de coma flotante, o tienen incorporados componentes especializados. En los casos donde no exista esta facilidad o el hardware de coma flotante no pueda realizar determinadas operaciones, se utilizan bibliotecas de software para realizar los cálculos.