Notación científica

Ejemplo: una calculadora muestra la Constante de Avogadro en notación E

La mayoría de calculadoras y programas informáticos están programados para mostrar en notación científica los números excesivamente grandes o pequeños. Pese a esto, por lo general no son capaces de ilustrar "a la manera tradicional" los exponentes de potencias, como por ejemplo 10⁷ (lo mismo ocurre con los subíndices matemáticos). En estos casos recurren a un formato alternativo de representación gráfica de potencias: la notación E, donde la letra E, seguida de un número, representa, literalmente, «multiplicado por diez elevado a» (es decir, "× 10ⁿ"). Dicho de otro modo, si tomamos dos números reales m y n, la representación "mEn" significaría exactamente m × 10ⁿ.

El carácter e no tiene nada que ver con la constante matemática e (la confusión no es posible cuando se utiliza la letra mayúscula E); y aunque represente un exponente, la notación se refiere generalmente como notación e (científica) o notación E (científica), en vez de notación exponencial (científica) (aunque este última también puede ocurrir).[20]

• En el lenguaje de programación FORTRAN 6.0221415E23 es equivalente a 6.022 141 5×10²³.
• El lenguaje de programación ALGOL 60 usa un subíndice diez en lugar de la letra E, por ejemplo

6.02214151023.[21] ALGOL 68 también permite E minúsculas, por ejemplo 6.0221415e+23.

• El lenguaje de programación ALGOL 68 tiene la opción de 4 caracteres en (eE\⏨). Ejemplos:

6.0221415e23, 6.0221415E23, 6.0221415\23 o 6.0221415⏨23.[22]

• En el lenguaje de programación Simula se requiere el uso de & (o && para largos), por ejemplo:

6.0221415&23 (o 6.0221415&&23).[23]

• En lenguaje de programación multiparadigma como Python no es relevante la utilización de mayúscula o minúscula para el carácter E o e, teniendo el mismo significado.

  6.0221415e23 = 6.0221415E23
  

La notación de ingeniería difiere de la notación científica normalizada en el cual el exponente e está restringido a múltiplos de 3. Por consiguiente, el valor absoluto de m está en el intervalo 1 ≤ |m| <1000, en lugar de 1 ≤ |m| < 10.[24][25] Aunque sea conceptualmente similar, la notación de ingeniería rara vez se la llama notación científica.

Los números de esta forma son fáciles de leer, utilizando los prefijos de magnitud como mega (m = 6), kilo (m = 3), mili (m = −3), micro (m = −6) o nano (m = −9). Por ejemplo, 12.5×10⁻⁹ m se puede leer como «doce punto cinco nanómetros» o escrito como 12.5 nm.[24][26]

• La masa de un electrón es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. En notación científica, esto se escribe 9.109 382 2×10^-31 kg.[7]
• La masa de la tierra es de alrededor de 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg. En notación científica, este valor está representado por 5.9736x10²⁴ kg.[27]
• La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40 000 000 m. En notación científica queda 4×10⁷ m. En notación de ingeniería, es de 40×10⁶ m. En el estilo de representación del SI, puede ser escrita 40 Mm (40 megámetro).[28]

Una ventaja de la notación científica es que reduce la ambigüedad del número de dígitos significativos. Todos los dígitos en notación científica estándar son significativos por convención. Pero, en notación decimal cualquier cero o una serie de ceros al lado del punto decimal son ambiguos, y puede o no indicar números significativos (cuando ellos deben estar subrayados para hacer explícitos que ellos son ceros significativos). En una notación decimal, los ceros al lado del punto decimal no son, necesariamente, un número significativo. Es decir, pueden estar allí solo para mostrar dónde está el punto decimal. Sin embargo, en notación científica se resuelve esta ambigüedad, porque los ceros que se muestran son considerados significativos por convención.[29] Por ejemplo, usando la notación científica, la velocidad de la luz en unidades del SI es 2.99792458×10⁸ m/s y la eminencia es 2,54×10⁻² m; ambos números son exactos, por definición, las unidades «pulgadas» por centímetro y m en términos de la velocidad de la luz.[30] En estos casos, todas las cifras son significativas. Se puede adicionar un único cero o cualquier número de ceros al lado derecho para mostrar más dígitos significativos, o un único cero con una barra en la parte superior se puede agregar a mostrar infinitos dígitos significativos (así como en notación decimal).

Es habitual en mediciones científicas registrar todos los dígitos significativos de las mediciones, y asumir un dígito adicional, si hubiera cierta información a todos los disponibles para el observador a hacer una suposición. El número resultante es considerado más valioso del que sería sin ese dato extra, y es considerado una cifra significativa, ya que contiene alguna información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y en la agregación de las mediciones (agregarlas o multiplicarlas).

A través de anotaciones adicionales, se puede transmitir información adicional sobre la exactitud. En algunos casos, puede ser útil saber que es el último algoritmo significativo. Por ejemplo, el valor aceptado de la unidad de carga elemental puede ser válidamente expresado como 1.602176487(40)×10⁻¹⁹ C,[31] y cuyas cifras aparecen entre paréntesis al final del valor, indican su incertidumbre, específicamente se expresa como 0.000000040×10⁻¹⁹ C, y es un acceso directo a la abreviatura de (1.602176487 ± 0.000000040)×10⁻¹⁹ C.

La notación científica permite una rápida comparación entre varias cantidades homogéneas. Por ejemplo:

1. Masa del protón: 1.6726×10⁻²⁷ kg
2. Masa del electrón: 9.109 382 2×10^-31 kg

Para compararlas con suficiente aproximación basta el cociente entre las potencias de diez:

${\displaystyle {10^{-27}}:{10^{-31}}={10^{-27-(-31)}}={10^{4}}}$

Es decir, el protón es aproximadamente cuatro órdenes de magnitud (alrededor de 10 000 veces) más masivo que el electrón.[32]

Para transformar cualquier número a la notación científica debemos mover la coma obedeciendo al principio de equilibrio.^{[cita requerida]}

Tomemos el ejemplo a continuación:

${\displaystyle {253756.42}}$

La notación científica requiere que la mantisa (coeficiente) es de entre 1 y 10 en valor absoluto. En esta situación, el valor apropiado sería 2,5375642 (observe que la secuencia de números es la misma, solamente cambia la posición de la coma). Para el exponente, pena el principio de equilibrio: «Cada decimal que disminuye el valor de mantisa aumenta el exponente en una unidad, y viceversa».

En este caso, el exponente es 5.

Observe la transformación paso a paso:

${\displaystyle {253756.42}}$
${\displaystyle {25375.642\ \times \ 10^{1}}}$
${\displaystyle {2537.5642\ \times \ 10^{2}}}$
${\displaystyle {253.75642\ \times \ 10^{3}}}$
${\displaystyle {25.375642\ \times \ 10^{4}}}$
${\displaystyle {2.5375642\ \times \ 10^{5}}}$

1 mol de moléculas tiene 6.02 × 10²³ moléculas.[34]

Otro ejemplo, con valores por debajo de 1:

0.0000000475
0.000000475 × 10⁻¹
0.00000475 × 10⁻²
0.0000475 × 10⁻³
0.000475 × 10⁻⁴
0.00475 × 10⁻⁵
0.0475 × 10⁻⁶
0.475 × 10⁻⁷
4.75 × 10⁻⁸

En notación científica, en notación E y la notación de ingeniería, el espacio (el que, en formato de texto, puede ser representado por un espacio normal de ancho o por un espacio delgado), solo se permite antes y después de ×, en frente de E o e puede ser omitido, aunque sea menos común que lo haga antes del carácter alfabético.[35]

El cerebro humano tiene cerca de 1 × 10¹¹ neuronas.[36]

Para sumar o restar dos números en notación científica, es necesario que los exponentes sean los mismos. Es decir, uno de los valores debe ser transformado para que su exponente sea igual al del otro. El resultado probablemente no estará en la forma exigida (mantisa con una sola cifra distinta a 0 a la izquierda de la coma) por lo que será convertido posteriormente.[37]

Ejemplos:

${\displaystyle {4.2\cdot 10^{7}}+{3,5\cdot 10^{5}}={420\cdot 10^{5}}+{3.5\cdot 10^{5}}={423.5\cdot 10^{5}}}$ = ${\displaystyle {4.235\cdot 10^{7}}}$

${\displaystyle {6.32\cdot 10^{9}}-{6.25\cdot 10^{9}}={0.07\cdot 10^{9}}}$ = ${\displaystyle {7\cdot 10^{7}}}$

Multiplicar las mantisas y sumar los exponentes de cada valor.[37]

Ejemplo:

${\displaystyle {(6,5\cdot 10^{8})}\cdot {(3.2\cdot 10^{5})}={(6,5\cdot 3.2)\cdot 10^{8+5}}={20.8\cdot 10^{13}}}$ = ${\displaystyle {2.08\cdot 10^{14}}}$

${\displaystyle {(4\cdot 10^{6})}\cdot {(1.6\cdot 10^{-15})}={(4\cdot 1.6\cdot 10^{6+(-15)})}={6.4\cdot 10^{-9}}}$

Dividir las mantisas y restar los exponentes de cada valor:[37]

Ejemplos:

${\displaystyle {(8\cdot 10^{17})}:{(2\cdot 10^{9})}={(8/2)\cdot 10^{17-9}}={4\cdot 10^{8}}}$

${\displaystyle {(2.4\cdot 10^{-7})}:{(6.2\cdot 10^{-11})}={(2.4/6.2)\cdot 10^{-7-(-11)}}={0.3871}\cdot 10^{4}}$ = ${\displaystyle {3.871}\cdot 10^{3}}$

La mantisa es elevada al exponente externo y el exponente de base diez se multiplica por el exponente externo.[37]

${\displaystyle {(2\cdot 10^{6})^{4}}={(2^{4})\cdot 10^{6.4}}={16}\cdot 10^{24}=1.6\cdot 10^{25}}$

Antes de realizar la radicación es necesario transformar un exponente a un múltiplo del índice. Después de que se hace esto, el resultado es la radicación de la mantisa multiplicada por diez elevado a la relación entre el exponente y el índice de radical.[37]

${\displaystyle {\sqrt {1.6\cdot 10^{27}}}={\sqrt {16\cdot 10^{26}}}={\sqrt {16}}\cdot 10^{26/2}=4\cdot 10^{13}}$

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{6.7\cdot 10^{17}}}={\sqrt[{5}]{670\cdot 10^{15}}}={\sqrt[{5}]{670}}\cdot 10^{15/5}\approx 3.674\cdot 10^{3}}$ [38]