Autocorrelación

En estadística, la autocorrelación de una serie temporal discreta de un proceso ${\displaystyle X_{t}}$ no es más que la correlación de dicho proceso con una versión rezagada en el tiempo de la propia serie temporal.

Si ${\displaystyle X_{t}}$ representa un proceso estacionario de segundo orden con un valor esperado ${\displaystyle \mu }$; se define entonces:

${\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{i}-\mu )(X_{i-k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$

donde ${\displaystyle E}$ es el valor esperado y ${\displaystyle k}$ el rezago temporal considerado (normalmente denominado desfase). Esta función varía dentro del rango [−1, 1], donde 1 indica una correlación perfecta (la señal se superpone perfectamente tras un desplazamiento temporal de ${\displaystyle k}$) y −1 indica una anticorrelación perfecta. Es una práctica común en muchas disciplinas el abandonar la normalización por ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ y utilizar los términos autocorrelación y autocovarianza de manera intercambiable.

En el campo de procesamiento de señales, dada una señal temporal ${\displaystyle f(t)}$, la autocorrelación continua ${\displaystyle R_{f}(\tau )}$ es la correlación continua cruzada de ${\displaystyle f(t)}$ consigo mismo tras un desfase ${\displaystyle \tau }$, y se define como:

${\displaystyle R_{f}(\tau )=f^{*}(-\tau )\circ f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{*}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)f^{*}(t-\tau )\,dt}$

donde ${\displaystyle f^{*}}$ representa el conjugado complejo y el círculo representa una convolución. Para una función real, ${\displaystyle f^{*}=f}$.

Formalmente, la autocorrelación discreta ${\displaystyle R}$ con un desfase ${\displaystyle j}$ para una señal ${\displaystyle x_{n}}$ es

${\displaystyle R(j)=\sum _{n}(x_{n}-m)(x_{n-j}-m)\,}$

donde ${\displaystyle m}$ es el valor esperado de ${\displaystyle x_{n}}$.

Frecuentemente las autocorrelaciones se calculan para señales centradas alrededor del cero, es decir con un valor principal de cero. En ese caso la definición de la autocorrelación viene dada por:

${\displaystyle R(j)=\sum _{n}x_{n}x_{n-j}.\,}$

Las autocorrelaciones multidimensionales pueden definirse de manera similar. Por ejemplo, en tres dimensiones puede definirse la autocorrelación de una función como:

${\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}(x_{n,q,r}-m)(x_{n-j,q-k,r-\ell }-m).}$

En la gráfica se muestran 100 puntos aleatorios basados en una función sinusoidal y debajo la autocorrelación de la serie

A pesar de que el campo de velocidad instantáneo ${\displaystyle u(x,t)}$ exhibe un comportamiento aleatorio e impredecible, es afortunadamente posible discernir cantidades estadísticas distintas tales como los valores promedio. Esta importante característica de las fluctuaciones refleja la existencia de escalas características de correlación estadística. Por consiguiente, necesitamos introducir algunas mediciones útiles de las diferentes escalas que describen el estado de los flujos turbulentos. Con este fin, existen 2 medidas comúnmente usadas:

• La función de autocorrelación de la velocidad.
• El espectro energético.

En orden de extraer información estadística del flujo, la velocidad instantánea ${\displaystyle \mu }$ se transforma en un valor medio ${\displaystyle {\bar {\mu }}}$ y en un valor fluctuante como se muestra:

${\displaystyle u={\bar {u}}+{\acute {u}}}$

Donde: ${\displaystyle {\acute {\mu }}}$ es el componente aleatorio del movimiento y consiste en cualquier instante, de colecciones aleatorias de vórtices. La operación realizada arriba puede ser vista como una separación de escala entre el medio y el campo fluctuante. La función espacio-temporal de correlación se expresa de la siguiente forma:

${\displaystyle R{\big (}x,{\acute {x}},t,{\acute {t}}{\big )}={\frac {\bar {{\acute {u}}{\big (}x,t{\big )}{\acute {u}}{\big (}{\acute {x}},{\acute {t}}{\big )}}}{\bar {{\acute {u}}{\big (}x,t{\big )}{\acute {u}}{\big (}{\acute {x}},{\acute {t}}{\big )}}}}}$

En caso de un flujo homogéneo estadísticamente estacionario, las funciones de autocorrelación (tanto en espacio como en tiempo), pueden expresarse como:

${\displaystyle R{\big (}\xi ,t_{0}{\big )}={\frac {\bar {{\acute {u}}{\big (}x,t_{0}{\big )}{\acute {u}}{\big (}x+\xi ,t_{0}{\big )}}}{\bar {{\acute {u}}{\big (}x,t_{0}{\big )}{\acute {u}}{\big (}x,t_{0}{\big )}}}}}$

${\displaystyle R{\big (}x_{0},\tau {\big )}={\frac {\bar {{\acute {u}}{\big (}x_{0},t{\big )}{\acute {u}}{\big (}x_{0},t+\tau {\big )}}}{\bar {{\acute {u}}{\big (}x_{0},t{\big )}{\acute {u}}{\big (}x_{0},t{\big )}}}}}$

Donde: ${\displaystyle \xi ={\acute {x}}-x,\tau ={\acute {t}}-t}$ y ${\displaystyle x_{0}}$ y respectivamente ${\displaystyle t_{0}}$ denotan localizaciones (respectivamente un instante dado). La integral espacial y la escala temporal, se definen como:

Forma de la función de autocorrelación para un flujo turbulento y escala de Taylor. Las 2 superficies azules, poseen áreas iguales.

${\displaystyle L=\int _{0}^{\infty }R(x,\tau )dr}$

${\displaystyle T=\int _{0}^{\infty }R(\xi ,t)d\xi }$

La escala integral de la turbulencia ${\displaystyle L}$ provee una medida de la extensión de la región sobre la cual las velocidades están correlacionadas aproximadamente (ej.: el tamaño de los remolinos que llevan la energía del movimiento turbulento). Similarmente ${\displaystyle T}$ provee una medida de la duración temporal sobre la cual las velocidades se mantienen correlacionadas (ej.: la duración de las vueltas de los torbellinos). Por razones obvias, la integral ${\displaystyle T}$ es comúnmente llamada la integral de escala de tiempo de Euler. Así mismo al realizársele la transformada de Fourier a la función de autocorrelación, obtenemos la distribución energética presente en el espectro turbulento.