Biálgebra de Lie

Un espacio vectorial ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es una biálgebra de Lie si es un álgebra de Lie y existe también una estructura de álgebra de Lie compatible en el espacio dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$. De forma más precisa, la estructura de álgebra de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ viene dada por un corchete de Lie ${\displaystyle [\ ,\ ]:{\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ y la estructura de álgebra de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ viene dada por un corchete de Lie ${\displaystyle \delta ^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. Entonces, la aplicación dual de ${\displaystyle \delta ^{*}}$, ${\displaystyle \delta$ :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}} y la condición de compatibilidad es la siguiente relación de cociclos:

${\displaystyle \delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)}$

donde ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=[X,Y]}$ es el adjunto. Nótese que esta definición es simétrica y por tanto ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ es también una biálgebra de Lie, y se denomina biálgebra de Lie dual.

Sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}}$ y asignemos las raíces positivas. Sea ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{\pm }\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}={\mathfrak {b}}_{-}\cap {\mathfrak {b}}_{+}}$ y existe una proyección natural ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {b}}_{\pm }\to {\mathfrak {t}}} . Definimos entonces un álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {g'}}:=\{(X_{-},X_{+})\in {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (X_{-})+\pi (X_{+})=0\}}$

que es una subálgebra del producto ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{-}\times {\mathfrak {b}}_{+}}$, y tiene la misma dimensión que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Identificamos ahora ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$ como el dual de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

${\displaystyle \langle (X_{-},X_{+}),Y\rangle$ :=K(X_{+}-X_{-},Y)}

con ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {g}}}$ y ${\displaystyle K}$ la forma de Killing. Esto define una estructura de biálgebra de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, y es el ejemplo estándar: subyace al grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo. Nótese que ${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ es semisimple.

El álgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ de un grupo de Poisson-Lie G tiene una estructura natural de biálgebra de Lie. La estructura de grupo de Lie provee el corchete de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ como es habitual, y la linealización de la estructura de Poisson en G da el corchete de Lie en ${\displaystyle {\mathfrak {g^{*}}}}$ (recordando que una estructura de Poisson lineal sobre un espacio vectorial es lo mismo que un corchete de Lie sobre el espacio dual). De forma más detallada, sea G un grupo de Poisson-Lie y sean ${\displaystyle f_{1},f_{2}\in C^{\infty }(G)}$ dos funciones suaves sobre la variedad de grupo. Sea ${\displaystyle \xi =(df)_{e}}$ el diferencial en el elemento identidad. Claramente, ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$. La estructura de Poisson en el grupo induce así un corchete en ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$, dado por

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=(d\{f_{1},f_{2}\})_{e}\,}$

donde ${\displaystyle \{,\}}$ es el corchete de Poisson. Dado ${\displaystyle \eta }$ el bivector de Poisson sobre la variedad, se define ${\displaystyle \eta ^{R}}$ como la traslación a derecha del bivector al elemento identidad en G. Se tiene entonces que

${\displaystyle \eta ^{R}:G\to {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$

El coconmutador es entonces la aplicación tangente:

${\displaystyle \delta =T_{e}\eta ^{R}\,}$

de manera que

${\displaystyle [\xi _{1},\xi _{2}]=\delta ^{*}(\xi _{1}\otimes \xi _{2})}$

es el dual del coconmutador.

• Coálgebra de Lie
• Tripla de Manin

• H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Claausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlín, ISBN 3-540-53503-9.
• Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
• Beisert, N.; Spill, F. (2009). «The classical r-matrix of AdS/CFT and its Lie bialgebra structure». Communications in Mathematical Physics 285 (2): 537-565. Bibcode:2009CMaPh.285..537B. doi:10.1007/s00220-008-0578-2.