Bisectriz

• Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (z'), y la del ángulo x'Oy es (w'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180°, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90°.

• En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
• En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.

Bisectriz como lugar geométrico de los centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo.

• Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

• ab = mn + d², siendo m, n los segmentos que determina la bisectriz interna d, sobre el lado c = m+n

1. Para bisectriz interior ${\displaystyle l_{A}={\frac {2}{b+c}}{\sqrt {bcp(p-a)}}}$ siendo ${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ el semiperímetro.

2. Bisectriz interior del ángulo A: ${\displaystyle l_{A}={\frac {\sqrt {bc[(b+c)^{2}-a^{2}]}}{b+c}}}$, en función de los tres lados a,b y c.[2]

3. Para la bisectriz exterior ${\displaystyle l_{A}^{e}={\frac {2}{b-c}}{\sqrt {bc(p-b)(p-c)}}}$.[3]

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

Sean la rectas

1. R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
2. R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q

En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2

Ejemplo

Sean

R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando ${\displaystyle {\frac {4}{5}}x+{\frac {3}{5}}y={\frac {8}{5}}}$

R_2: 3x -4y +12 = 0, cuya ecuación normal es ${\displaystyle {\frac {3}{5}}x-{\frac {4}{5}}y=-{\frac {12}{5}}}$

Sumando las ecuaciones : ${\displaystyle {\frac {7}{5}}x-{\frac {1}{5}}y=-{\frac {4}{5}}}$, ecuación de la recta bisectriz L_1

Restando las ecuaciones : ${\displaystyle {\frac {1}{5}}x+{\frac {7}{5}}y={\frac {20}{5}}}$ ecuación de la bisectriz L_2 [4]

Sean las ecuaciones vectoriales.

R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de Rⁿ está de la recta L_1

R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de Rⁿ está de la recta L_2

Entonces las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se cortan en el punto H son:

L_1: ${\displaystyle H+{\frac {1}{2}}(u+v)}$

L-2: ${\displaystyle H+{\frac {1}{2}}(u-v)}$[5]