Bosones W y Z

En esta sección se ilustra el mecanismo de Higgs que conduce a que los bosones vectoriales Z⁰ y W^± adquieran una masa efectiva. En esencia, se conjetura que tras los bosones Z⁰ y W^± inicialmente habría partículas sin masa descritas por los campos y . Pero como estos campos intereaccionan de una manera compleja con el bosón de Higgs acaban comportándose como partículas másicas, por lo que en situaciones donde el bosón de Higgs no sea observable cabe esperar que la interacción débil se manifieste mediante bosones vectoriales sin masa sino como partículas másicas, tal como se ha observado.

Para ver formalmente como funciona el mecanismo de Higgs desde un punto de vista matemático se parte de una lagrangiana que describe dos campos bosónicos escalares complejos, en la que por un mecanismo de Higgs ocurrirá una ruptura de simetría local no abeliana. La lagrangiana inicial es:

(1)${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(D^{\mu }\phi \right)^{\dagger }\left(D_{\mu }\phi \right)-V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu },}$

donde:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+1/2\left(ig\tau ^{l}W_{\mu }^{l}+ig'B_{\mu }\right)}$, es la derivada covariante asociada a los campos de gauge

${\displaystyle \phi ,\phi ^{\dagger }}$ describen el campo asociado a los fermiones que interactúan mediante el campo electrodébil.

${\displaystyle V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)=1/2\left(\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi +\lambda ^{2}\left(\phi ^{\dagger }\phi \right)^{2}\right)}$ es el llamado potencial bicuadrático,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }B_{\nu }-\partial _{\nu }B_{\mu }}$, es el tensor de campo abeliano, análogo al tensor de campo electromagnético.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\partial _{\mu }W_{\nu }-\partial _{\nu }W_{\mu }+ig[W_{\mu },W_{\nu }]}$, es el tensor de campo no-abeliano.

En el lagrangiano anterior pueden darse dos casos posibles:

• Si ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$ la lagragiana describe la teoría de Yang-Mills.
• Si ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$ es el caso que interesa donde puede romperse la simetría asociada al grupo especial unitario ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ de manera espontánea.

Por tanto, para ilustrar el mecanismo de Higgs para la ruptura espontánea de la simetría ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$ se supone que ${\displaystyle \mu ^{2}<0}$, y en ese caso el mínimo del potencial bicuadrático vendrá dado por:

(2)${\displaystyle V\left(\phi ^{\dagger },\phi \right)_{0}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{2}}}$

En estas circunstancias sin pérdida de generalidad puede tomarse como estado que representa al vacío efectivo el siguiente:

(3)${\displaystyle \phi _{0}=\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu }{\sqrt {2}}}\end{array}}\right)}$

Considerando un desarrollo à la Taylor alrededor de ${\displaystyle \scriptstyle \phi _{0}}$, el vector que da el estado de campo puede representarse como:

(4a)${\displaystyle \phi =\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu }{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}\varphi _{1}+i\varphi _{2}\\\varphi _{3}+i\varphi _{4}\\\end{array}}\right)}$

El anterior estado puede reparametrizarse como una perturbación en términos de cuatro campos reales: tres ${\displaystyle \epsilon (x)}$ y un ${\displaystyle \phi (x)}$:

(4b)${\displaystyle \phi (x)=e^{-i\epsilon ^{l}(x){\frac {\tau ^{l}}{2}}}\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu +\varphi (x)}{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)}$

Como la teoría es invariante por la acción del grupo unitario U(1), mediante una transformación la expresión anterior puede escribirse de manera equivalente como:

(4c)${\displaystyle \phi (x)=\left({\begin{array}{c}0\\{\frac {\nu +\varphi (x)}{\sqrt {2}}}\\\end{array}}\right)}$

La libertad de elección de gauge se usa para convertir ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ en una componente de un isoespinor. La añadimos en la lagrangiana:

(5a)${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {L}}=\left[\partial ^{\mu }\phi ^{\dagger }-\phi ^{\dagger }\left(igW^{\mu }+i{\frac {g'}{2}}B^{\mu }\right)\right]\left[\left(\partial _{\mu }+igW_{\mu }+i{\frac {g'}{2}}B_{\mu }\right)\phi \right]-\dots \\\dots V\left(\phi ^{\dagger }\phi \right)-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }\end{matrix}}}$

Reordenando los términos, el lagrangiano queda:

(5b)${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi \right)\left(\partial _{\mu }\varphi \right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]-{\frac {1}{4}}{\vec {G}}^{\mu \nu }\cdot {\vec {G}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\dots \\\dots {\frac {g^{2}}{8}}\nu ^{2}\left(W^{1\mu }W_{\mu }^{1}+W^{2\mu }W_{\mu }^{2}\right)+{\frac {1}{8}}\nu ^{2}\left(gW^{3\mu }-g'B^{\mu }\right)\left(gW_{\mu }^{3}-g'B^{\mu }\right)+{\mathcal {O}}(.^{2})+\Lambda \end{matrix}}}$

Si ahora se separa el campo ${\displaystyle \scriptstyle W^{3}}$ del campo ${\displaystyle \scriptstyle B}$ y se introduce el ángulo llamado de Weinberg como:

${\displaystyle \theta _{w}\rightarrow \tan {\left(\theta _{w}\right)}={g'}/{g}}$

Se pueden escribir las siguientes combinaciones de campos o "campos derivados":

(6a)

${\displaystyle gW_{\mu }^{3}-g'B_{\mu }={\frac {g}{\cos {\theta _{w}}}}\left(\cos {\theta _{w}}W_{\mu }^{3}-\sin {\theta _{w}}B_{\mu }\right)\equiv {\frac {g}{\cos {\theta _{w}}}}Z_{\mu }}$

${\displaystyle A_{\mu }=\sin {\theta _{w}}W_{\mu }^{3}+\cos {\theta _{w}}B_{\mu }.}$

La langrangiana puede escribirse en términos de estos nuevos campos como:

(5c)${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left(\partial ^{\mu }\varphi \right)\left(\partial _{\mu }\varphi \right)+\mu ^{2}\varphi ^{2}\right]-{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{2}{\left(\left(\partial ^{\mu }W^{i\nu }-\partial ^{\nu }W^{i\mu }\right)\left(\partial _{\mu }W_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }W_{\mu }^{i}\right)-{\frac {1}{2}}g^{2}\nu ^{2}W^{i\mu }W_{\mu }^{i}\right)}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{4}}\left(\left(\partial ^{\mu }Z^{\nu }-\partial ^{\nu }Z^{\mu }\right)\left(\partial _{\mu }Z_{\nu }-\partial _{\nu }Z_{\mu }\right)-{\frac {1}{2}}\left(g^{2}+g'^{2}\right)\nu ^{2}Z^{\mu }Z_{\mu }\right)-{\frac {1}{4}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+{\mathcal {O}}(.^{2})}$

Por fin tenemos un campo escalar masivo ${\displaystyle \varphi }$ de Higgs, con masa ${\displaystyle {\sqrt {-\mu ^{2}}}}$. Además hay tres bosones vectoriales masivos: ${\displaystyle W^{1}}$, ${\displaystyle W^{2}}$ y ${\displaystyle Z}$. Las masas son:

• ${\displaystyle m_{W^{1}}=g{\frac {\nu }{2}}=m_{W^{2}}}$
• ${\displaystyle m_{Z}={\sqrt {g^{2}+g'^{2}}}{\frac {\nu }{2}}={\frac {m_{W}}{\cos {\theta _{w}}}}}$

Los generadores ${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{2}}}$,${\displaystyle {\frac {\tau _{2}}{2}}}$ y ${\displaystyle 1-{\frac {\tau _{3}}{2}}}$ no dejan el vacío invariante. Pero ${\displaystyle 1+{\frac {\tau _{3}}{2}}}$ sí, y es el responsable de que deje el campo ${\displaystyle A_{\mu }}$ no tenga masa. El mecanismo de Higgs da masa a los bosones de Gauge, comiéndose tres de los cuatro campos de Higgs.