Masa y energía en la relatividad especial

En los primeros tiempos de la teoría de la relatividad, se introdujo el concepto masa relativista que venía a sustituir la noción clásica de masa. Eso se debía a que la relación entre módulo de la cantidad de movimiento ${\displaystyle \scriptstyle p}$ y la velocidad ${\displaystyle \scriptstyle v}$ no era de proporcionalidad, sino una relación más compleja:

${\displaystyle p\varpropto {\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Así que con la intención de que la relación entre el momento y la velocidad fuera análoga a la mecánica clásica (p = mv) se decidió definir una magnitud m llamada "masa relativista" dada por:

${\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

Donde ${\displaystyle m_{0}}$ es la masa medida por un observador en reposo respecto a la masa, de esa manera era posible escribir una relación formalmente idéntica a la de la mecánica clásica dada por ${\displaystyle p=mv}$. Para la magnitud ${\displaystyle m_{0}}$ se reservó el nombre masa invariante o masa en reposo.

De hecho, Einstein siempre se refirió a la masa invariante cuando escribía la letra m en sus ecuaciones (lo que aquí por desambiguar se ha escrito como ${\displaystyle m_{0}}$), y nunca usó esa letra para describir ningún otro tipo de masa. Es decir, Einstein ignoró el concepto de masa relativista como se ha definido más arriba.

La confusión terminológica pudo deberse a que Einstein afirmó en 1905 que la "masa aparente" de los cuerpos se incrementaba con su energía (naturalmente eso sólo era cierto desde un punto de vista estrictamente newtoniano). Además, con el desarrollo de la notación mediante cuadrivectores de Minkowski y la relatividad general, se concluyó que la masa invariante era la cantidad más fundamental en la teoría de la relatividad. De hecho, las balanzas y básculas siempre operan en sistemas de referencia en reposo para los objetos que miden, por lo que realmente estrictamente sólo es directamente medible la masa invariante o masa en reposo.

Actualmente, la comunidad científica, al menos en el contexto de la física de partículas, considera la masa invariante como la única "masa", mientras que el concepto de energía ha reemplazado al de masa relativista. Aunque nuevo uso puede prestarse a confusión con los diversos tipos de energía "no-másica" como la luz o el calor. En términos generales, puede decirse que modernamente el concepto de masa relativista ha sido arrinconado,[1] aunque en los textos de divulgación de la teoría se sigue usando la noción de una masa relativista que aumenta con la velocidad.

La masa invariante o masa propia es la medida de la masa de un objeto la cual es la misma para todos los observadores inerciales. Para cualquier sistema de referencia la masa invariante se determina mediante un cálculo que incluye la energía total del objeto y su momento.

El término masa en reposo se aplica a una partícula libre y en reposo respecto al observador inercial. Mediante la equivalencia masa-energía, la masa en reposo de la partícula libre es su energía dividido c². Este resultado también es válido para un sistema de partículas cuyo centro de masas está en reposo respecto al observador inercial.

Designando la masa relativista como ${\displaystyle M\!}$, comenzando desde ${\displaystyle E=Mc^{2}\,\!}$ obtenemos inmediatamente la fórmula general:[2]

${\displaystyle M={\frac {E}{c^{2}}}\,}$

La cual funciona para todas las partículas, incluyendo aquellas que se mueven a la velocidad de la luz. Nótese que esta fórmula general dice que un fotón u otra hipotética partícula moviéndose a la velocidad de la luz tiene una masa relativista distinta de cero mientras que su energía no sea cero. Es por ello correcto, aunque anticuado, decir que un fotón tiene masa relativista. El uso actual se conviene en decir que un fotón no tiene masa o decir que no tiene una masa invariante.

Para una partícula que no se mueva a la velocidad de la luz, esto es, una masa en reposo no nula, la masa relativista aparente:

${\displaystyle M=\gamma m\,}$

Donde:

m es la masa en reposo, y

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}}\!}$ es el factor de Lorentz,

v es la velocidad relativa entre el observador y el objeto, y

c es la velocidad de la luz.

Cuando la velocidad relativa es nula, γ vale 1, y la masa relativista coincide numéricamente con la masa en reposo como se puede apreciar en las ecuaciones abajo. Cuando la velocidad aumenta hasta valores próximos al de la velocidad de la luz c, el denominador de la parte derecha se aproxima a cero, y por tanto γ tiende al infinito. El principal beneficio de usar la masa relativista es abreviar la fórmula para el momento lineal:

${\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {v} }$

De la mecánica no relativista mantiene su forma simple reemplazando m por M.

Sin embargo, algunas otras relaciones no funcionan de esa forma. Por ejemplo, aunque la segunda ley de Newton permanece válida en la forma

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(M\mathbf {v} )}{dt}},\!}$

La forma derivada ${\displaystyle \mathbf {f} =M\mathbf {a} }$ no es válida pues ${\displaystyle M\,}$ en ${\displaystyle {d(M\mathbf {v} )}\!}$ no es por lo general una constante. La expresión relativista correcta relacionando fuerza y aceleración para una partícula con una masa en reposo no nula moviéndose en la dirección x con velocidad v y un factor de Lorentz asociado γ es:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{x}=\gamma ^{3}ma_{x}=\gamma ^{2}Ma_{x},\\f_{y}=\gamma ma_{y}=Ma_{y},\\f_{z}=\gamma ma_{z}=Ma_{z}.\end{cases}}}$

Es por ello que el uso del concepto de masa relativista está limitado y se considera inconveniente.

Otra desventaja de este procedimiento es que al depender γ en la velocidad, observadores en sistemas de referencia inerciales diferentes medirán valores diferentes.

Una ventaja de este procedimiento es que el cálculo de la masa de sistemas compuestos se hace por una suma sencilla, mientras que es complicado de hacer con la masa en reposo. Sin embargo, la práctica moderna es usar solo la masa en reposo. Al hacerlo, cuando se relaciona el vector de fuerzas de Minkowski con la masa invariante y la aceleración, la segunda ley de Newton aparece con la forma

${\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }.\!}$

• Masa y energía en relatividad general

• Espacio, tiempo, materia y vacío