Sistema de referencia

Un sistema de referencia es un conjunto de convenciones usado por un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico y de mecánica. Las trayectorias medidas y el valor numérico de muchas magnitudes son relativas al sistema de referencia que se considere, por esa razón, se dice que el movimiento es relativo. Cuando hablamos de un sistema de referencia, normalmente nos referimos a un conjunto de convenciones que un observador necesita, dentro de un sistema físico mecánico, para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto en estudio. Se conoce como sistema de referencia al grupo de convenciones que un observador emplea para la medición de las magnitudes físicas de un sistema determinado. Esto quiere decir que los valores de dichas magnitudes están vinculadas al sistema de referencia en cuestión.

Dos vehículos moviéndose a velocidades constantes diferentes, respecto a un observador inercial móvil, constituyen dos sistemas de referencia inerciales adicionales.

En mecánica clásica el término para referirse a un sistema de coordenadas ortogonales para el espacio euclídeo (dados dos sistemas de coordenadas de ese tipo, existe un giro y una traslación que relacionan las medidas de esos dos sistemas de coordenadas).

En mecánica relativista se refiere usualmente al conjunto de coordenadas espacio-temporales que permiten identificar cada punto del espacio físico de interés y el orden cronológico de sucesos en cualquier evento, más formalmente un sistema de referencia en relatividad se puede definir a partir de cuatro vectores ortonormales (uno temporal y tres espaciales).

Definición

La necesidad de distinguir entre los distintos significados de "marco de referencia" ha dado lugar a una variedad de términos. Por ejemplo, a veces se añade como modificador el tipo de sistema de coordenadas, como en marco de referencia cartesiano. A veces se enfatiza la forma en que se transforma a los marcos considerados como relacionados, como en Sistema de referencia inercial. A veces los marcos se distinguen por la escala de sus observaciones, como en marcos de referencia macroscópicos y microscópicos.[1]

En este artículo, el término marco de referencia observacional se utiliza cuando se hace hincapié en el estado de movimiento más que en la elección de coordenadas o en el carácter de las observaciones o del aparato de observación. En este sentido, un marco de referencia observacional permite estudiar el efecto del movimiento sobre toda una familia de sistemas de coordenadas que podrían acoplarse a este marco. Por otra parte, un sistema de coordenadas puede emplearse para muchos fines en los que el estado de movimiento no es la principal preocupación. Por ejemplo, se puede adoptar un sistema de coordenadas para aprovechar la simetría de un sistema. En una perspectiva aún más amplia, la formulación de muchos problemas en física emplea coordenadas generalizadas', modos normales o vectores propios, que sólo están indirectamente relacionados con el espacio y el tiempo. Parece útil divorciar los distintos aspectos de un marco de referencia para la discusión que sigue. Por lo tanto, tomamos los marcos de referencia observacionales, los sistemas de coordenadas y los equipos observacionales como conceptos independientes, separados como sigue:

Un marco de observación (como un marco inercial o marco de referencia no inercial) es un concepto físico relacionado con el estado de movimiento.
Un sistema de coordenadas es un concepto matemático, que equivale a una elección del lenguaje utilizado para describir observaciones.[2] En consecuencia, un observador en un marco de referencia observacional puede elegir emplear cualquier sistema de coordenadas (cartesiano, polar, curvilíneo, generalizado, ...) para describir las observaciones realizadas desde ese marco de referencia. Un cambio en la elección de este sistema de coordenadas no cambia el estado de movimiento de un observador, y por lo tanto no implica un cambio en el marco de referencia observacional del observador. Este punto de vista se puede encontrar en otros lugares también.[3] Lo cual no quiere decir que algunos sistemas de coordenadas sean mejores que otros para algunas observaciones.

La elección de qué medir y con qué aparato de observación es una cuestión independiente del estado de movimiento del observador y de la elección del sistema de coordenadas.

[8]

Introducción

Mecánica newtoniana

En física clásica un sistema de referencia cartesiano se define por un par (P, E), donde el primer elemento P es un punto de referencia arbitrario, normalmente perteneciente a un objeto físico, a partir del cual se consideran las distancias y las coordenadas de posición. El segundo elemento E es un conjunto de ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas tienen como origen de coordenadas en el punto de referencia (P), y sirven para determinar la dirección del cuerpo en movimiento (o expresar respecto a ellos cualquier otra magnitud física vectorial o tensorial).

Un tercer elemento es el origen en el tiempo, un instante a partir del cual se mide el tiempo. Este instante acostumbra a coincidir con un suceso concreto. En cinemática el origen temporal coincide habitualmente con el inicio del movimiento que se estudia.

Estos tres elementos: punto de referencia, ejes de coordenadas cartesianos y origen temporal, forman el sistema de referencia. Para poder utilizar un sistema de referencia, sin embargo, se necesitan unas unidades de medida que nos sirvan para medir. Las unidades son convencionales y se definen tomando como referencia elementos físicamente constantes. A un conjunto de unidades y sus relaciones se le llama sistema de unidades. En el Sistema Internacional de Unidades o SI, se utiliza el metro como unidad del espacio y el segundo como unidad del tiempo.

Si un objeto se mueve en línea recta, solamente es necesario un eje para describir su movimiento. Cuando se mueve por un plano hacen falta al menos dos ejes. Para movimientos en el espacio se utilizan tres ejes. Las coordenadas más utilizadas son las coordenadas cartesianas, designadas (x,y,z), donde x es la proyección sobre el "eje horizontal" (x es positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda); y es la coordenada vertical, positivo hacia arriba y negativo hacia abajo; y z mide la profundidad, positivo cuando se acerca y negativo cuando se aleja. Cuando se estudian movimientos respecto a la superficie de la Tierra, se acostumbra a hacer pasar el eje y o el eje z por el centro de la Tierra, con el origen de coordenadas situado en la superficie.

Dados dos sistemas de referencia R₁ y R₂, con un origen de tiempos y que se mueven con una velocidad constante uno respecto al otro, las coordenadas de ambos sistemas de coordenadas están relacionados mediante:

${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}r_{xx}&r_{xy}&r_{xz}\\r_{yx}&r_{yy}&r_{yz}\\r_{zx}&r_{zy}&r_{zz}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}-x_{0}-v_{x}t\\y_{1}-y_{0}-v_{y}t\\z_{1}-z_{0}-v_{z}t\end{pmatrix}}$

Donde:

r_{ij}\,

, son las componentes de una matriz ortogonal que representa la rotación necesaria para dar a los dos sistemas la misma orientación.

v_{i}\,

, son las componentes de la velocidad del sistema 1 respecto al 2.

(x_{0},y_{0},z_{0})\,

, es la posición del origen de coordenadas 2 respecto al origen de coordenadas de 1 en el instante t = 0.

Mecánica clásica lagrangiana

En mecánica clásica lagrangiana también es interesante usar sistemas de referencia más complicados, definidos por un conjunto de coordenadas curvilíneas en el espacio. Las coordenadas de las magnitudes vectoriales o tensoriales en estos sistemas de referencia no cartesianos se definen respecto a los vectores tangentes a las líneas coordenadas en cada punto. Dado un conjunto de coordenadas curvilíneas $\scriptstyle \mathbf {q} =(q^{1},\dots ,q^{n})$ en cada el sistema de "ejes" viene dado por:

$E=\left\{{\frac {\partial }{\partial q^{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial q^{n}}}\right\}$

Un sistema de cartesiano de referencia es uno en que $\scriptstyle \mathbf {q} =(x,y,z)$ y el origen de referencia viene dado por $\scriptstyle \mathbf {q} =(0,0,0)$ .

Mecánica relativista

La definición de sistema de referencia en relatividad es más compleja, ya que en general no puede establecerse un origen de tiempos válido para cualquier observador con independencia del punto del espacio en que se encuentre. En principio un sistema de referencia queda definido en relatividad especificando un conjunto de observadores repartidos inicialmente por una hipersuperficie del espacio tiempo. Hay sistemas que llamados sincronizables que si permiten establecer un origen de tiempos común, pero esos sistemas sólo pueden existir en un espacio-tiempo estacionario. Los problemas asociados a la "relatividad del tiempo" obligan a que la definición de sistema de referencia en teoría de la relatividad general sea notoriamente más complicada que en mecánica clásica.

En relatividad general se define un sistema de referencia como un conjunto de observadores locales, es decir, un sistema de referencia es un campo vectorial cuyas curvas integrales son observadores locales, es decir, curvas temporales.

Véase también: Marco móvil

Sistema inercial

A grandes rasgos, es un sistema de referencia en el que las leyes de Newton son empíricamente adecuadas para pequeñas velocidades. Dado un sistema inercial, cualquier otro sistema de referencia que esté parado o bien que se desplace en línea recta a velocidad constante respecto al primero, es también un sistema inercial. Esto puede depender de la precisión de las medidas, un laboratorio en reposo respecto a la Tierra puede ser considerado un sistema inercial para la mayor parte de los sistemas, ya que el efecto Coriolis, el efecto centrífugo y otras fuerzas ficticias tiene un valor pequeño para sistemas de dimensiones reducidas. Eso a pesar de que la Tierra gira y, por tanto, estrictamente no es un sistema inercial. De hecho existen experimentos como el péndulo de Foucault donde los efectos no-inerciales se llegan a manifestar de manera significativa. En esos casos no resulta adecuado considerar un laboratorio en reposo respecto a la Tierra como un sistema inercial.

Formalmente, en mecánica clásica y teoría de la relatividad especial, un sistema inercial es aquel en el que los símbolos de Christoffel obtenidos a partir de la función lagrangiana se anulan. En un sistema inercial no son necesarias fuerzas ficticias para describir el movimiento de las partículas observadas mediante el conjunto de convenciones que describen el sistema de referencia.

Aparato de medición

Otro aspecto de un marco de referencia es el papel de la metrología (por ejemplo, relojes y varillas) unido al marco. Esta pregunta no se trata en este artículo, y es de particular interés en mecánica cuántica, donde la relación entre el observador y la medición todavía está en discusión (véase problema de medición).

En los experimentos de física, el marco de referencia en el que los dispositivos de medición de laboratorio están en reposo se suele denominar marco de laboratorio. Un ejemplo sería el cuadro en el que están en reposo los detectores de un acelerador de partículas. El marco de laboratorio en algunos experimentos es un marco inercial, pero no es necesario que lo sea (por ejemplo, el laboratorio en la superficie de la Tierra en muchos experimentos de física no es inercial). En los experimentos de física de partículas, a menudo es útil transformar las energías y los momentos de las partículas desde el marco de laboratorio donde se miden, al centro del marco de momento "marco COM" en el que a veces se simplifican los cálculos, ya que potencialmente todo lo cinético de la energía aún presente en el marco COM puede usarse para hacer nuevas partículas.

A este respecto, se puede señalar que los relojes y las varillas que a menudo se usan para describir el equipo de medición de los observadores en el pensamiento, en la práctica se reemplazan por una metrología mucho más complicada e indirecta que está relacionada con la naturaleza del vacío, y utiliza relojes atómicos que operan de acuerdo con el modelo estándar y que deben ser corregidos por la dilatación del tiempo gravitacional.[9] (Véase segundo, metro y kilogramo).

De hecho, Einstein sintió que los relojes y las varillas eran simplemente dispositivos de medición convenientes y deberían ser reemplazados por entidades más fundamentales basadas, por ejemplo, en átomos y moléculas.[10]

Véase también

Referencias

La distinción entre marcos macroscópicos y microscópicos aparece, por ejemplo, en electromagnetismo, donde se utilizan relaciones constitutivas de varias escalas de tiempo y longitud para determinar las densidades de corriente y carga que entran en ecuaciones de Maxwell. Véase, por ejemplo, Kurt Edmund Oughstun (2006). Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media. Springer. p. 165. ISBN 0-387-34599-X.. Estas distinciones también aparecen en termodinámica. Véase Paul McEvoy (2002). Teoría clásica. MicroAnalytix. p. 205. ISBN 1-930832-02-8..
. En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos xⁱ = xⁱ (t) en un grupo de Lie complejo; Lev Semenovich Pontri͡agin (1986). L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups (3rd edición). Gordon and Breach. p. 429. ISBN 2-88124-133-6.. De forma menos abstracta, un sistema de coordenadas en un espacio de n dimensiones se define en términos de un conjunto base de vectores {e₁, e₂,... e_n}; Edoardo Sernesi; J. Montaldi (1993). Linear Algebra: A Geometric Approach. CRC Press. p. 95. ISBN 0-412-40680-2. Como tal, el sistema de coordenadas es una construcción matemática, un lenguaje, que puede estar relacionado con el movimiento, pero que no tiene una conexión necesaria con el movimiento.
J X Zheng-Johansson; Per-Ivar Johansson (2006). Unificación de la mecánica clásica, cuántica y relativista y de las cuatro fuerzas. Nova Publishers. p. 13. ISBN 1-59454-260-0.
Jean Salençon; Stephen Lyle (2001). Handbook of Continuum Mechanics: Conceptos generales, termoelasticidad. Springer. p. 9. ISBN 3-540-41443-6.
Patrick Cornille (Akhlesh Lakhtakia, editor) (1993). google.com/books?id=qsOBhKVM1qYC&q=coordinate+system+%22reference+frame%22&pg=PA149 Ensayos sobre los aspectos formales de la teoría electromagnética. World Scientific. p. 149. ISBN 981-02-0854-5.
Nerlich, Graham (1994). Lo que explica el espaciotiempo: Ensayos metafísicos sobre espacio y tiempo. Cambridge University Press. p. 64. ISBN 0-521-45261-9.
John D. Norton (1993). La covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa, Rep. Prog. Phys.', 56', pp. 835-7.
Aquí hay una cita aplicable a los marcos observacionales en movimiento ${\mathfrak {R}}$ y varios sistemas de coordenadas triespaciales euclidianos asociados [R, R′, etc.]:[4]

Primero introducimos la noción de marco de referencia, relacionada a su vez con la idea de observador: el marco de referencia es, en cierto sentido, el espacio euclidiano que lleva el observador. Demos una definición más matemática:... el marco de referencia es... el conjunto de todos los puntos del espacio euclídeo con el movimiento de cuerpo rígido del observador. El marco, denotado ${\mathfrak {R}}$ , se dice que se mueve con el observador.... Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan relativas a un marco ${\mathfrak {R}}$ estableciendo un "sistema de coordenadas" "R" con origen "O". El correspondiente conjunto de ejes, que comparten el movimiento de cuerpo rígido del marco ${\mathfrak {R}}$ , puede considerarse que da una realización física de ${\mathfrak {R}}$ . En un marco ${\mathfrak {R}}$ , las coordenadas se cambian de R a R′ realizando, en cada instante de tiempo, la misma transformación de coordenadas sobre las componentes de los objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar las magnitudes físicas en este marco.

Jean Salençon, Stephen Lyle Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity p. 9

. y esto sobre la utilidad de separar las nociones de ${\mathfrak {R}}$ y [R, R′, etc.]:[5]

Como señaló Brillouin, hay que distinguir entre los conjuntos matemáticos de coordenadas y los marcos físicos de referencia. La ignorancia de tal distinción es la fuente de mucha confusión... las funciones dependientes como la velocidad, por ejemplo, se miden con respecto a un marco de referencia físico, pero uno es libre de elegir cualquier sistema de coordenadas matemáticas en el que se especifiquen las ecuaciones.

L. Brillouin en Relativity Reexamined (citado por Patrick Cornille en Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory p. 149)

y esto, también sobre la distinción entre ${\mathfrak {R}}$ y [R, R′, etc.]:[6]

La idea de un marco de referencia es realmente muy diferente de la de un sistema de coordenadas. Los marcos difieren sólo cuando definen diferentes espacios (conjuntos de puntos de reposo) o tiempos (conjuntos de sucesos simultáneos). Así pues, las ideas de espacio, tiempo, reposo y simultaneidad van inextricablemente unidas a la de marco. Sin embargo, un simple desplazamiento del origen, o una rotación puramente espacial de las coordenadas espaciales da lugar a un nuevo sistema de coordenadas. Así que los marcos corresponden en el mejor de los casos a clases de sistemas de coordenadas.

Graham Nerlich: What Spacetime Explains, p. 64

y de J. D. Norton:[7]

En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general ha sido costumbre no distinguir entre dos ideas bien distintas. La primera es la noción de sistema de coordenadas, entendida simplemente como la asignación suave e invertible de cuatro números a sucesos en vecindades espaciotemporales. La segunda, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar tales números [...] Para evitar restricciones innecesarias, podemos divorciar esta disposición de las nociones métricas. [...] De especial importancia para nuestros propósitos es que cada marco de referencia tiene un estado definido de movimiento en cada evento del espaciotiempo. [...] Dentro del contexto de la relatividad especial y mientras nos restrinjamos a los sistemas de referencia en movimiento inercial, entonces poco de importancia depende de la diferencia entre un sistema de referencia inercial y el sistema de coordenadas inerciales que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que empezamos a considerar marcos de referencia en movimiento no uniforme, incluso dentro de la relatividad especial....Más recientemente, para negociar las obvias ambigüedades del tratamiento de Einstein, la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas.

John D. Norton: General Covariance and the Foundations of General Relativity: eight decades of dispute, Rep. Prog. Phys., 56', pp. 835-7.
Richard Wolfson (2003). Simply Einstein. W W Norton & Co. p. 216. ISBN 0-393-05154-4.
Véase Guido Rizzi; Matteo Luca Ruggiero (2003). Relativity in rotating frames. Springer. p. 33. ISBN 1-4020-1805-3..

Datos: Q184876
Multimedia: Frames of reference / Q184876

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[macroscópico-1] La distinción entre marcos macroscópicos y microscópicos aparece, por ejemplo, en electromagnetismo, donde se utilizan relaciones constitutivas de varias escalas de tiempo y longitud para determinar las densidades de corriente y carga que entran en ecuaciones de Maxwell. Véase, por ejemplo, Kurt Edmund Oughstun (2006). Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media. Springer. p. 165. ISBN 0-387-34599-X.. Estas distinciones también aparecen en termodinámica. Véase Paul McEvoy (2002). Teoría clásica. MicroAnalytix. p. 205. ISBN 1-930832-02-8..

[Pontriagin-2] . En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos xⁱ = xⁱ (t) en un grupo de Lie complejo; Lev Semenovich Pontri͡agin (1986). L.S. Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups (3rd edición). Gordon and Breach. p. 429. ISBN 2-88124-133-6.. De forma menos abstracta, un sistema de coordenadas en un espacio de n dimensiones se define en términos de un conjunto base de vectores {e₁, e₂,... e_n}; Edoardo Sernesi; J. Montaldi (1993). Linear Algebra: A Geometric Approach. CRC Press. p. 95. ISBN 0-412-40680-2. Como tal, el sistema de coordenadas es una construcción matemática, un lenguaje, que puede estar relacionado con el movimiento, pero que no tiene una conexión necesaria con el movimiento.

[Johansson-3] J X Zheng-Johansson; Per-Ivar Johansson (2006). Unificación de la mecánica clásica, cuántica y relativista y de las cuatro fuerzas. Nova Publishers. p. 13. ISBN 1-59454-260-0.

[Lyle-4] Jean Salençon; Stephen Lyle (2001). Handbook of Continuum Mechanics: Conceptos generales, termoelasticidad. Springer. p. 9. ISBN 3-540-41443-6.

[Lakhtakia-5] Patrick Cornille (Akhlesh Lakhtakia, editor) (1993). google.com/books?id=qsOBhKVM1qYC&q=coordinate+system+%22reference+frame%22&pg=PA149 Ensayos sobre los aspectos formales de la teoría electromagnética. World Scientific. p. 149. ISBN 981-02-0854-5.

[Nerlich-6] Nerlich, Graham (1994). Lo que explica el espaciotiempo: Ensayos metafísicos sobre espacio y tiempo. Cambridge University Press. p. 64. ISBN 0-521-45261-9.

[Norton-7] John D. Norton (1993). La covarianza general y los fundamentos de la relatividad general: ocho décadas de disputa, Rep. Prog. Phys.', 56', pp. 835-7.

[8] Aquí hay una cita aplicable a los marcos observacionales en movimiento ${\mathfrak {R}}$ y varios sistemas de coordenadas triespaciales euclidianos asociados [R, R′, etc.]:[4]

Primero introducimos la noción de marco de referencia, relacionada a su vez con la idea de observador: el marco de referencia es, en cierto sentido, el espacio euclidiano que lleva el observador. Demos una definición más matemática:... el marco de referencia es... el conjunto de todos los puntos del espacio euclídeo con el movimiento de cuerpo rígido del observador. El marco, denotado ${\mathfrak {R}}$ , se dice que se mueve con el observador.... Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan relativas a un marco ${\mathfrak {R}}$ estableciendo un "sistema de coordenadas" "R" con origen "O". El correspondiente conjunto de ejes, que comparten el movimiento de cuerpo rígido del marco ${\mathfrak {R}}$ , puede considerarse que da una realización física de ${\mathfrak {R}}$ . En un marco ${\mathfrak {R}}$ , las coordenadas se cambian de R a R′ realizando, en cada instante de tiempo, la misma transformación de coordenadas sobre las componentes de los objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar las magnitudes físicas en este marco.

Jean Salençon, Stephen Lyle Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity p. 9

. y esto sobre la utilidad de separar las nociones de ${\mathfrak {R}}$ y [R, R′, etc.]:[5]

Como señaló Brillouin, hay que distinguir entre los conjuntos matemáticos de coordenadas y los marcos físicos de referencia. La ignorancia de tal distinción es la fuente de mucha confusión... las funciones dependientes como la velocidad, por ejemplo, se miden con respecto a un marco de referencia físico, pero uno es libre de elegir cualquier sistema de coordenadas matemáticas en el que se especifiquen las ecuaciones.

L. Brillouin en Relativity Reexamined (citado por Patrick Cornille en Essays on the Formal Aspects of Electromagnetic Theory p. 149)

y esto, también sobre la distinción entre ${\mathfrak {R}}$ y [R, R′, etc.]:[6]

La idea de un marco de referencia es realmente muy diferente de la de un sistema de coordenadas. Los marcos difieren sólo cuando definen diferentes espacios (conjuntos de puntos de reposo) o tiempos (conjuntos de sucesos simultáneos). Así pues, las ideas de espacio, tiempo, reposo y simultaneidad van inextricablemente unidas a la de marco. Sin embargo, un simple desplazamiento del origen, o una rotación puramente espacial de las coordenadas espaciales da lugar a un nuevo sistema de coordenadas. Así que los marcos corresponden en el mejor de los casos a clases de sistemas de coordenadas.

Graham Nerlich: What Spacetime Explains, p. 64

y de J. D. Norton:[7]

En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general ha sido costumbre no distinguir entre dos ideas bien distintas. La primera es la noción de sistema de coordenadas, entendida simplemente como la asignación suave e invertible de cuatro números a sucesos en vecindades espaciotemporales. La segunda, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar tales números [...] Para evitar restricciones innecesarias, podemos divorciar esta disposición de las nociones métricas. [...] De especial importancia para nuestros propósitos es que cada marco de referencia tiene un estado definido de movimiento en cada evento del espaciotiempo. [...] Dentro del contexto de la relatividad especial y mientras nos restrinjamos a los sistemas de referencia en movimiento inercial, entonces poco de importancia depende de la diferencia entre un sistema de referencia inercial y el sistema de coordenadas inerciales que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que empezamos a considerar marcos de referencia en movimiento no uniforme, incluso dentro de la relatividad especial....Más recientemente, para negociar las obvias ambigüedades del tratamiento de Einstein, la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas.

John D. Norton: General Covariance and the Foundations of General Relativity: eight decades of dispute, Rep. Prog. Phys., 56', pp. 835-7.

[Wolfson-9] Richard Wolfson (2003). Simply Einstein. W W Norton & Co. p. 216. ISBN 0-393-05154-4.

[Rizzi-10] Véase Guido Rizzi; Matteo Luca Ruggiero (2003). Relativity in rotating frames. Springer. p. 33. ISBN 1-4020-1805-3..